
- •Предмет та задачі курсу. Методі розв’язування математичних задач.
- •Понятия устойчивости, корректности постановки задач и сходимости численного решения
- •Обобщенные требования к выбору численных методов
- •Поняття похибки.
- •Точность вычислений, классификация погрешностей.
- •Розв’язання алгебраїчних та трансцендентних рівнянь однієї змінної
- •Графическое отделение корней
- •Итерационные методы уточнения корней. Метод простой итерации. Метод простой итерации
- •Метод Ньютона (касательных)
- •Итерационные методы уточнения корней.
- •Метод деления отрезка пополам
- •Метод хорд
- •Общий алгоритм численных методов решения нелинейных уравнений
- •Розв’язання слр в задачах електроенергетики. Розв’язання слр в задачах електроенергетики
- •Основные понятия и определения
- •Системы линейных алгебраических уравнений Модифицированный метод Гаусса
- •Системы линейных алгебраических уравнений. Метод прогонки
- •Системы линейных алгебраических уравнений . Метод квадратного корня
- •Системы линейных алгебраических уравнений Итерационные методы решения слау
- •Системы линейных алгебраических уравнений . Метод Зейделя
- •Вычисление обратных матриц
- •2. Другой подход к определению обратной матрицы а–1
- •3. Обращение матрицы а посредством треугольных матриц
- •Метод итераций для уточнения элементов обратной матрицы
- •Розв’язання недовизначених та перевизначених слр Решение систем нелинейных уравнений
- •Метод простой итерации
- •Условия сходимости метода простой итерации для нелинейных систем уравнений второго порядка
- •Общий случай построения итерирующих функций
- •Метод Ньютона для систем двух уравнений
- •Метод Ньютона для систем n-го порядка с n неизвестными
- •Диференційні рівняння в задачах електроенергетики.
- •Задача Коши для оду
- •Численные методы решения задачи Коши
- •Одношаговые методы решения задачи Коши
- •1. Метод Эйлера
- •2. Метод Эйлера с пересчетом
- •3. Метод Эйлера с последующей итерационной обработкой
- •4. Метод Рунге-Кутта
- •Многошаговые методы решения задачи Коши
- •1. Семейство методов Адамса
- •2. Многошаговые методы, использующие неявные разностные схемы
- •3. Повышение точности результатов
- •Численное интегрирование Понятие численного интегрирования
- •Понятие точной квадратурной формулы
- •Численное интегрирование. Простейшие квадратурные формулы
- •Формула прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Формула Симпсона
- •Численное интегрирование. Составные квадратурные формулы с постоянным шагом
- •Составная формула средних
- •Формула трапеций
- •Формула Симпсона
- •Выбор шага интегрирования для равномерной сетки
- •Выбор шага интегрирования по теоретическим оценкам погрешностей
- •Численное интегрирование. Выбор шага интегрирования по эмпирическим схемам
- •1. Двойной пересчет
- •2. Схема Эйткина
- •3. Правило Рунге
- •4. Другие оценки погрешности
- •Составные квадратурные формулы с переменным шагом
- •Квадратурные формулы наивысшей алгебраической точности (формула Гаусса)
- •Аппроксимация функций
- •Интерполирование функций
- •Типовые виды локальной интерполяции Линейная интерполяция
- •Квадратичная (параболическая) интерполяция
- •5.4. Типовые виды глобальной интерполяции Интерполяция общего вида
- •Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •1. Формула Лагранжа для произвольной системы интерполяционных узлов
- •2. Полином Лагранжа на системе равноотстоящих интерполяционных узлов
- •Интерполяционный многочлен Ньютона
- •Интерполяционный многочлен Ньютона для системы равноотстоящих узлов
- •2. Интерполяционный многочлен Ньютона для системы произвольно расположенных узлов
- •Локальная Глобальная Интерполяция
- •Глобальная интерполяция
- •4.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •Глобальная интерполяция
- •Сглаживание результатов экспериментов
- •2. Метод средних
- •3. Метод наименьших квадратов
- •Вычисление многочленов
- •Численное дифференцирование
- •Аппроксимация производных посредством локальной интерполяции
- •1. Формула левых разностей
- •2. Формула правых разностей
- •3. Формула центральных разностей
- •Погрешность численного дифференцирования
- •Аппроксимация производных посредством глобальной интерполяции
- •7.4.1. Аппроксимация посредством многочлена Ньютона
- •Вычисление производных на основании многочлена Лагранжа
- •. Метод неопределенных коэффициентов
- •Улучшение аппроксимации при численном дифференцировании
- •Лекція 1.Розв’язування алгебраїчних та трансцендентних рівнянь однієї змінної. Загальний алгоритм. Оцінка похибки.
- •Лекція 2.Методи уточнення кореня алгебраїчних та трансцендентних рівнянь. Метод хорд. Метод дотичних. Комбінований метод.
- •Лекція 3.Ітераційні методи (геометричний зміст). Метод Ейткіна-Стефенсона.
- •Лекція 4.Розв’язання слр. Загальні положення. Приклади енергетичних задач, де виникає потреба розв’язування слр.
- •Лекція 5.Точні методи розв’язування слр: Гауса, тріангуляції, подвійної факторизації.
- •Лекція 6.Ітераційні методи розв’язання слр. Метод простої ітерації та метод ітерації Зейделя.
- •Лекція 7. Метод виправлення наближеної оберненої матриці
- •Лекція 8.Розвязання слр методами мінімізації
- •2. Метод найменших квадратів.
- •3. Метод мінімізації суми квадратів відхилень.
- •4. Метод виважених найменших квадратів .
- •Лекція 9. Розв’язання систем нелінійних рівнянь
- •Лекція 10.Розв’язання снр методами мінімізації
- •Лекція 11.Диференційні рівняння в задачах електроенергетики.
- •Лекція 12.Інтегрування диференційних рівнянь за допомогою степеневих рядів. Нехай маємо диференційне рівняння n-го порядку
Численное интегрирование Понятие численного интегрирования
Во многих научных и технических задачах интегрирование функций является важной составной частью математического моделирования площадей и объемов, значений работы, произведенной некоторыми силами и многие другие технические задачи. Напомним, что геометрический смысл простейшего определенного интеграла
, (1)
от f(x) 0, как известно, состоит в том, что значение величины I – это площадь, ограниченная кривой y = f(x), осью абсцисс и прямыми x = a, x = b
Во многих случаях, когда функция f(x) в (1) задана в аналитическом виде, определенный интеграл вычисляется непосредственно с помощью неопределенного интеграла (посредством первообразной) по формуле Ньютона-Лейбница:
Рис. 6.1
. (2)
Однако формулой (2) на практике можно воспользоваться не всегда, а именно:
– когда вид f(x) не допускает непосредственного интегрирования, т.е. первообразная F(x) не выражается в элементарных функциях;
– если значения f(x) заданы в табличной форме.
Универсальным подходом для решения поставленной задачи является использование методов численного интегрирования, основанных на аппроксимации подынтегральной функции с помощью интерполяционных многочленов различных степеней.
Следует подчеркнуть, что основная идея численного интегрирования заложена уже в определении известного интеграла Римана от f(x), формально записанного в виде (1). Напомним суть этого определения.
Пусть вещественная функция f(x) определена и ограничена на интервале [a, b]. Разобьем его на n произвольных частичных интервалов [xi, xi+1], 0in–1, x0 = a, xn = b.
Выберем в каждом частичном интервале произвольную точку , xixi+1 и составим, так называемую, интегральную сумму (рис. 6.1).
. (3)
Если предел S при стремлении длины наибольшего частичного интервала к нулю существует для произвольных i, то его называют интегралом Римана от f(x):
. (4)
Тогда сумма (3) и дает простейший пример численного интегрирования. А ее верхняя S2 и нижняя S1 суммы определяют величину погрешности S, а именно:
(5)
Существующие на практике формулы численного интегрирования, по существу, отличаются от (3) только явным указанием способов:
1) выбора xi, i;
2) ускорения сходимости в (4);
3) оценки погрешности посредством дополнительной информации о поведении f(x) (например, что f(x) C2[a,b]).
В качестве рабочего инструмента численного интегрирования вводится понятие квадратурной формулы для (1). Для этого обобщим понятие интегральной суммы (3). Точки i (рис. 6.1), в которых вычисляются значения f(x) называются узлами, а коэффициенты (xi+1 – xi) в (3) заменяют некоторыми числами qi, не зависящими от f(x), называемыми весами. Формула (3) заменяется следующей:
,
(6)
где a i b.
Очевидно, что интеграл (1) согласно (5) следует записать в виде:
. (7)
Формула (7) и называется квадратурной формулой, а R в (7) – погрешностью квадратурной формулы. При наличии альтернативы при выборе численных методов интегрирования следует заметить, что каждая конкретная квадратурная формула считается заданной, если указано, как выбирать i, соответствующие веса qi, а также методика оценки погрешности R для определенных классов функций.