Розв’язання недовизначених та перевизначених слр Решение систем нелинейных уравнений

Многие практические задачи сводятся к решению систем нелинейных уравнений с n неизвестными:

(1)

В отличие от линейных систем прямых методов их решения нет за исключением систем второго порядка, когда одно неизвестное может быть выражено через другое.

Наиболее распространены два метода: метод простой итерации и метод Ньютона.

Метод простой итерации

Система (1) должна быть представлена в следующем виде:

(2)

где называются итерирующими функциями.

Алгоритм решения аналогичен алгоритму Зейделя или простой итерации для решения систем линейных уравнений.

Пусть известен начальный вектор решения: x_i = a_i, i = 1,2,…,n, тогда

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока изменение всех неизвестных в двух последовательных итерациях не станет меньше заданного значения .

Начальные значения должны быть близкими к истинным значениям, иначе итерационный процесс может не сойтись. Стоит проблема их отыскания (т.е. условий сходимости). В случае расходимости (несходимости) в блок-схеме алгоритма срабатывает механизм ограничения числа итераций.

Условия сходимости метода простой итерации для нелинейных систем уравнений второго порядка

Рассмотрим систему из двух уравнений общего вида 3)

Нужно найти действительные корни x и y с заданной степенью точности .

Предположим, что данная система имеет корни и их можно установить. Итак, для применения метода простой итерации систему (3) нужно привести к виду:

, (4)

где ₁ и ₂ – итерирующие функции. По ним и строится итерационный процесс решения в виде:

, n = 0,1,2,… (5)

где при n = 0, x₀ и y₀ – начальные приближения.

Имеет место утверждение: пусть в некоторой замкнутой области R(axA; byB) имеется одно и только одно единственное решение x=; y=, тогда:

1) если ₁(x,y) и ₂(x,y) определены и непрерывно дифференцируемы в R;

2) если начальное решение x₀, y₀ и все последующие решения x_n, y_n также принадлежат R;

3) если в R выполняются неравенства:

или равносильные неравенства: (6)

то тогда итерационный процесс (5) сходится к определенным решениям, т.е.

Оценка погрешности n-го приближения дается неравенством:

,

где М – наибольшее из чисел q₁ или q₂ в соотношениях (6`). Сходимость считается хорошей, если М<1/2 . Если совпадают три значащие цифры после запятой в соседних приближениях, то обеспечивается точность  = 10^–3.

Пример. С заданной точностью решить нелинейную систему второго порядка:

Запишем систему в виде (4)

Рассмотрим квадрат 0  x  1; 0  y  1. Если возьмем х₀ и у₀ из этого квадрата, тогда мы имеем:

Из анализа вида ₁ и ₂ определим область нахождения их компонент при х=у=1, в заданном квадрате.

Для ₁(х, у): , а для ₂(х, у): – < , то при любом выборе (x₀, y₀) последовательность (x_k, y_k ) останется в прямоугольнике:

; ;

так как 1/3+1/2=5/6, 1/3–1/6=1/6, 1/3+1/6=1/2. Тогда для точек этого прямоугольника

;

;

– условия удовлетворяются, и система может быть решена по методу простых итераций.

Полагаем х₀ = 1/2, у₀ = 1/2, тогда

х_{1 = ;} у₁= .

Вторая итерация: ; ; …

х₃=0,533; у₃=0,351. Вычисляем дальше х₄ = 0,533; у₄ = 0,351  эти значения и являются ответом.