22) Основные правила дифференцирования!!!

1. Производная константы равна 0:

Утверждение тривиально, т.к. в любой точке х приращение

2. Пусть u(x) и v(x) дифференцируемы в т. х, тогда функции также дифференцируемы в точке х:

(в случае частного, считаем ).q.e.d.

Док-во:

q

23) Производная обратной и сложной функции!!!

Производная сложной функции

Пусть функция y = g(x), x є (а;b), имеет производную в точке х₀ є (а;b), а функция z= γ(y) определена на интервале, содержащем множество значений функции g, и имеет производную в точке y₀= g(x₀). Тогда сложная функция ƒ(х)=γ(g(x)) имеет производную в точке х₀, которая вычисляется по формуле:

ƒ´(х₀) = γ´(y₀) g´(x₀),

или, опуская значения аргументов:

Производная обратной функции

Если функция ƒ(х), х є (а;b), и её обратная функция ƒ^-1(y); y₀= ƒ(x₀), имеют производные, то

(ƒ^-1(y₀))´= .

Опуская значения аргументов, получаем:

или .

24) Вывод формулы дифференциала !!!

Производная от y=xⁿ.

Исходя из определения, необходимо произвести следующие действия:

1. дать x приращение x и вычислить значение f(x+x):

y+y=f(x+x)

2. найти y: y=f(x+x)-f(x)

3. составить отношение :

4. найти предел при x0 :

Теорема. Производная от y=xⁿ, где n>0 и nN, равна nx^n-1.

Доказательство. Итак

25) Вывод формулы дифференцирования y=ln(x), y=log_a(x),y=e^x , y=a^x!!!

1. где

; перейдем к lim при пусть при (2-ой замечательный предел). Поэтому с учетом непрерывности логарифмической функции или , если a=e .

.

2. где

по теореме о производной обратной функции имеем таким образом ; .

В частности, если a=e, .

30)Дифференцирование неявно заданных функций!!!

Если f(x)(x)  f|(x)(x).

Пусть теперь аргумент x и функция y=y(x) связаны уравнением, не разрешенным относительно y.

Например:

(*) x²+y³=a² – определяет , подставляя которую в (*), получим тождество: , 

что если (*) продифференцируем по x, считая y=y(x), то получится новое уравнение относительно x, y, y, которое обратилось бы в тождество, если в него подставить выражения y=y(x) и y=y(x).

Так как * в общем случае не известны * всегда можно найти *.

Дифференцируя (*), найдем

2x+3y²y=0 

Правило. Если F(x,y)=0  для нахождения y надо продифференцировать уравнение по x, считая y=y(x). Разрешая полученное уравнение относительно y, найдем выражение y через x и y.

Примеры

1. x³+y³-3axy=0

2. xe^y+y=a

31) Дифференцирование функций заданных параметрически и в полярной системе координат!!!

1) Параметрически

Пусть теперь x=(t) и y=(t), где (t) и (t) - дифференцируемые функции, и 0. Естественно, что (x) и (x) непрерывны и поэтому при t0, x0 и y0.

Так как (t)0 x=(t) - монотонная функция и поэтому t и x 0 одновременно. Тогда

Примеры x=acost, y =asin t

x=a(t-sin t), y=a(1-cost) (y=ctg(t/2))

2) В полярной системе координат

X =r*cos

Y =r*sin

32)Понятие о дифференциале функции и его геометрический смысл. Инвариантность дифференциала 1-го порядка.

Столь же важным в математическом анализе, как и производная, является понятие дифференциала функции.

Для любой дифференцируемой f(x) связь между y и x записывается в виде (*) y=(y+)x=yx+x

Величина  - бесконечно малая вместе с x , то есть

В силу этого x - бесконечно малая высшего порядка, по сравнению с x , а yx - бесконечно малая величина того же порядка, что и x, если y0 при данном x.

Таким образом (*) определяет бесконечно малую y (y0) в виде суммы двух слагаемых: yx=O(x) и x=o(x). Поэтому yx - будет главной частью приращения y, причем пропорциональной x.

Определение. Дифференциалом функции называют главную (линейную) часть приращения функции, пропорциональную приращению аргумента и обозначают символом:

(**) dy=yx

Если (**) применить к аргументу x, то так как (x)=1 

dx=(x)x=1x=x

Поэтому dy=yx

Внося dy и dx в (*) получим:

(***) y=dy+dx

Таким образом установлены следующие свойства дифференциала и его связь с приращением функции:

1. Дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента ( то есть независимой переменной ).

dy=yx

2. Разность между приращением функции y и ее дифференциалом dy есть величина бесконечно малая высшего порядка по сравнению с x

y-dy=o(x)

а также (при y0) высшего порядка по сравнению с y или dy

y-dy=o(y) (т.к. y=O(x),

y-dy=o(dy) (т.к. dy=yx)

3. В силу последнего свойства, при y0 приращение y и дифференциал dy при бесконечно малом x являются равносильными бесконечно малыми величинами:

dy~y

Дифференциал функции имеет простой геометрический смысл:

Значение дифференциала функции при данных x и x равно приращению ординаты касательной, проведенной в точке с абсциссой x графика f(x) при переходе от x к точке с абсциссой x+x.

!!!!!!!Дифференциалом функции   в   называется главная, линейная относительно  , часть приращения функции.

.

Покажем, что   и   эквивалентные бесконечно малые при  :

(  - бесконечно малая).

Геометрический смысл дифференциала:

Пр оведем к графику функции   в точку   касательную   и рассмотрим ординату этой касательной для точки  . На рисунке ,  . Из прямоугольного треугольника   имеем:  , т.е.  . Но, согласно геометрическому смыслу производной,  . Поэтому   или  . Это означает, что дифференциал функции   в   равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда   получает приращение  .

Приближенные вычисления:

!!!!!!!