19) Задача о мгновенной скорости движения. Механический смысл производной!!!

Задача 1. ( О мгновенной скорости) Прямолинейное движение материальной точки М совершается по закону S=S(t), где S – путь, пройденный точкой за время t от начала движения (рис. 3.1.) Найти скорость точки в момент t= .

S=S (t)

0 M t

S=S ( )

Рис. 7.1. Прямолинейное движение точки.

Решение. Каждому моменту времени соответствует определенный путь S, пройденный точкой М от точки 0 за время t. Путь есть функция времени: S = S(t). Для характеристики неравномерного движения используется понятие средней скорости. Если , ,то средней скоростью за промежуток времени от до называется число

.

Средняя скорость тем полнее характеризует движение, чем меньше длина промежутка .

Предел средней скорости за промежуток времени от до при t, стремящемся к , называется мгновенной скоростью V( ) в момент :

, (7.1)

если этот предел существует и конечен.

Механический смысл производной: производная от пути есть скорость.

Коротко говорят: производная от координаты по времени есть скорость. В этом состоит механический смысл производной.

20) Математическое определение и геометрический смысл производной!!!

Пусть функция y=f(x) определена в окрестности точки X=Xo, X=X1, точка этой же окрестности, причем X1 не равно Xo. Разность X=X1-Xo называется приращением независимой переменной. Соответствующая разность y=f(x1)-f(xo) называется приращением зависимой переменной .

Частное y/x = (f(xo+x)-f(xo))/x называется разностным отношением. Производной функции f(x) в точке x=xo называется предел разностного отнош f `(xo)= lim (x->o) (f(xo+x)-f(xo))/x

Геом смысл: произв f`(xo) есть угловой коэф (tg угла наклона) касательной, проведенной к кривой y=f(x) в точке xo, т.е. k= f`(xo)

Ур-е касат: y-f(xo)=f`(xo)(x-xo)

Физ смысл: произв – это скорость изменения ф-ции относит некот исследуемого фактора

21) Непрерывность и дифференцируемость функций!!! Определение

Функция называется дифференцируемой в точке х₀, если её приращение в этой точке имеет вид:

(4)

где: А - постоянное число

- бесконечно малая при .

Теорема

Для того чтобы функция f(x) , была дифференцируема в точке х₀ необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Непрерывность дифференцируемой функции

Предположим, что функция f(x) производную f’(x₀).

Докажем, что функция f(x) непрерывна в точке х₀

Док-во:

q.e.d.

Итак, дифференцируемость функции в точке влечёт её непрерывность в этой точке. Другими словами, непрерывность является необходимым условием дифференцируемости. Обратное же утверждение (непрерывность есть достаточное условие) не всегда верно.

Достаточно рассмотреть .

Эта функция, очевидно, непрерывна в точке х=0, но не дифференцируема в этой точке, т.к.

Не дифференцируемость функции в точке геометрически означает отсутствие касательной к графику функции в соответствующей точке.