16) Первый и второй замечательные пределы!!!

Докажем, что (1)

Где х – измеряется в радианах.

Рассмотрим окружность радиуса R=1 и центральный угол

A Х 0 С В D

т.к. хорда окружности меньше стягиваемой ею дуги, т.е. , откуда , т.е. , для

С другой стороны площадь кругового сектора ОАВ меньше площади . или . Поэтому для т.к. для

или (2)

Эти последние неравенства не изменятся при замене х на –х, т.е. они будут справедливы в проколотой - окрестности т. х=0.

Так как функция непрерывна в т. х=0, т.е. , то из неравенств (2) с учетом теоремы о lim двух легавых вытекает формула (1).

Теперь рассмотрим предел функции при . Этот предел называется вторым замечательным пределом

Он имеет вид .

 или 

17) Непрерывность функций в точке, на интервале и на отрезке!!!

Функция f называется непрерывной в точке х, если предел функции f(x) при ха существует и равен значению функции в этой точке:

(6.1)

Из определения следует, что функция f непрерывна в точке , если выполняются следующие условия:

1) функция f определена в точке и ее окрестности;

2) существуют односторонние пределы:

и ;

3) односторонние пределы равны между собой:

;

4) односторонние пределы равны значению функции в точке :

.

Определение. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого множества, то она называется непрерывной на этом множестве.

Записывают:

f ( функция f непрерывна в точке , т. е. принадлежит классу функций, непрерывных в точке );

f ( функция f непрерывна на множестве У, т. е. принадлежит классу функций, непрерывных на множестве У ).

Можно доказать:

Теорема. Все элементарные функции непрерывны в области их определения (или на каждом интервале области определения).

18) Разрывы функций 1-го и 2-го рода. Устранимые разрывы!!!

Определение. Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва.

Классификация точек разрыва:

Точки разрыва первого рода – это точки, в которых существуют конечные односторонние пределы, но они не равны между собой или не равны значению функции в этой точке.

Точки разрыва второго рода – это точки, в которых хотя бы один односторонний предел равен .

Пример:

Точка - точка разрыва первого рода ( геометрическая иллюстрация рис. 2.1.)

у у

А А

0 х 0 х

а) б)

у у

В

А

0 х 0 х

в) г)

Р ис. 6.1. Точки разрыва I рода.

у у

х х

0 0

а) б)

в) у у г)

х х

0 0

Рис. 6.2. Точки разрыва II рода.