6) Свойства бесконечно малых величин!!!

Теорема 1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Опр: Переменная величина u называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что в изменении величины u наступает момент, когда ее модуль становится и остается <M.

Очевидно, что б.м.в и const являются част случ огранич велич.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции при на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция.

Следствия:

1)Произведение конечного числа б.м.в. является б.м.в

2)Б.м.в. в положительной степени является б.м.в.

7) Свойства бесконечно больших величин!!!

Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция  , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при  .

Последовательность   называется бесконечно большой, если  .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки  , если  .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если   либо  .

8)Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции!!! Сравнение бесконечно малых:

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величины и (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).

• Если , то  — бесконечно малая высшего порядка малости, чем . Обозначают .

• Если , то  — бесконечно малая низшего порядка малости, чем . Соответственно .

• Если (предел конечен и не равен 0), то и являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости.

Это обозначается как или (в силу симметричности данного отношения).

• Если (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина имеет -й порядок малости относительно бесконечно малой .

Эквивалентные величины Определение

Если , то бесконечно малые величины и называются эквивалентными ( ).

Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых величин одного порядка малости.

При справедливы следующие соотношения эквивалентности (как следствия из так называемых замечательных пределов):

• 

• , где ;

• , где ;

• , , где .

9)Бесконечные числовые последовательности. Предел последовательности!!!

Бесконечной числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве всех натуральных чисел.

В общем виде бесконечная числовая последовательность записывается следующим образом: f(1); f(2); … ;f(n); …

Если обозначить = f(n), то получим последовательность ; ;… ; ;.. .или ( ), .

Здесь - n – й или общий член последовательности, n - номер соответствующего члена последовательности.

Число А называется пределом последовательности ( ), если для любого положительного числа e найдется такое натуральное число

N = N(e) ( N зависит от e ), что для любого n  N выполняется неравенство:

 - А e.

Записывают так: = А, или  А при n  .

Проще: предел последовательности !{а_n} есть число А, к которому можно приблизиться с любой степенью точности при стремлении номера члена последовательности к бесконечности.