56) Кривизна пространственной кривой. Сопровождающий трехгранник!!!

Согласно следствию 2 (см. вопрос №55), для можно записать формулу:

Изменение направления , связанное с изменением касательной к пространственной кривой, характеризует кривизну кривой. За меру кривизны пространственной кривой, как и для плоской, принимают предел отношения угла смежности к длине дуги, когда

кривизна, угол смежности, длина дуги.

С другой стороны, единичный вектор и производный к нему вектор перпендикулярен к нему, а его модуль Дифференцируя по и вводя единичный вектор с направлением , найдём:

Вектор вектор кривизны пространственной кривой. Его направление, перпендикулярное к направлению касательной, является направлением нормали пространственной кривой. Но пространственная кривая имеет в любой точке бесчисленное множество нормалей, которые все лежат в плоскости, проходящей через данную точку кривой и перпендикулярно к касательной в данной точке. Эту плоскость называют нормальной плоскостью пространственной кривой.

Определение. Нормаль кривой, по которой направлен вектор кривизны кривой в данной точке – главная нормаль пространственной кривой. Т.о. единичный вектор главной нормали.

Построим теперь третий единичный вектор равный векторному произведению и

Вектор , как и также перпендикулярен т.е. лежит в нормальной плоскости. Его направление называют направлением бинормали пространственной кривой в данной точке. Вектора и составляют тройку взаимно перпендикулярных единичных векторов, направление которых зависит от положения точки на пространственной кривой и изменяется от точки к точке. Эти вектора образуют т.н. сопровождающий трехгранник (трехгранник Френе) пространственной кривой. Вектора и образуют правую тройку, так же как и единичные орты в правой системе координат.

Взятые попарно определяют три плоскости, проходящие через одну и ту же точку на кривой и образуют грани сопровождающего трехгранника. При этом и определяют соприкасающую плоскость (б.м. дуга кривой в окрестности данной точки есть дуга плоской кривой в соприкасаемой плоскости с точностью до б.м. высшего порядка);

и - спрямляющая плоскость;

и - нормальная плоскость.

57) Уравнения касательной, нормали, бинормали и плоскостей сопровождающего трехгранника!!!

Зная и , или любые коллинеарные им неединичные вектора T, N и B выведем уравнения, поименованные в этом параграфе.

Для этого в каноническом уравнении прямой

и в уравнении плоскости, проходящей через данную точку

принять за координаты выбранной на кривой точки, за или соответственно за принять координаты того из векторов или , который определяет направление искомой прямой или нормали к искомой плоскости:

или - для касательной или нормальной плоскости,

или - для главной нормали и спрямляющей плоскости,

или - для бинормали и соприкасающейся плоскости.

Если кривая задана векторным уравнением или то за вектор направленный по касательной можно принять

1. 

Для нахождения и найдём сначала разложение по векторам Ранее (следствие 1) мы нашли, что Дифференцируя по , получим:

Но, т.к.

Перемножим теперь векторно и

(*)

На основании (*) за вектор , имеющий направление бинормали, можно взять вектор

Но тогда, за можно принять векторное произведение этих последних:

Т.о. в любой точке произвольной кривой мы можем определить все элементы сопроводдающего трехгранника.