54) Векторная функция скалярного аргумента и ее дифференцирование. Годограф!!
Одним из наиболее простых способов задания пространственной кривой является задание векторного уравнения:
,
где
- радиус-вектор точки кривой, а
- параметр, определяющий положение
точки.
Т.о.
переменный вектор
есть функция скаляра
.
Такие функции в математическом анализе
называют векторными функциями скалярного
аргумента.
Разлагая по ортам, уравнению (1) можно придать вид:
Это разложение даёт возможность перейти к параметрическому уравнению кривой:
Другими словами, задание векторной функции равносильно заданию трёх скалярных.
По отношению к векторной функции (1), определяющему данную кривую, сама кривая называется годографом этой функции. Начало координат называют в этом случае полюсом годографа.
Пусть
теперь
и
- точки кривой, определяемой уравнением
(1). Причём
,
а
Радиус-векторы этих точек будут
и
.
Вектор
называют приращением векторной функции
,
соответствующее приращению
её аргумента, и обозначают через
,
.
Векторная функция будет непрерывной функцией , если
.
Для нахождения производной от поступим следующим образом –
.
Установим
теперь направление
.
Очевидно, что
коллинеарен с
и при
направлен в ту же сторону, что и
а при
- в противоположную сторону. Но в первом
случае
а во втором
Т.о. вектор
всегда направлен по секущей годографа
в сторону возрастания
.
Если
воспользоваться разложением
и
по ортам, то
(*) 
где
Отсюда
деля (*) на
и переходя к пределу
для
получим
55) Свойства производной от векторной функции по скалярному аргументу. Три следствия!!!
Опираясь на , можно показать, что справедливы следующие формулы:
(5) 
(6) 
- скалярная функция.
Доказательство (7).
Ч.Т.Д.
Исследуем теперь некоторые свойства . Прежде всего найдём его модуль:
.
Далее
Т.к.
мы считаем дугу годографа спрямляемой,
то тогда
- есть длина хорды, а
- длина дуги. Поэтому
Т.о. модуль производной от векторной функции скалярного аргумента равен производной от дуги годографа по тому же аргументу.
Следствие
1. Если
- единичный вектор, направленный по
касательной к годографу в сторону
увеличения
,
то
Следствие 2. Если за аргумент векторной функции принята длина дуги годографа , то
(т.к.
)
Т.о. производная от векторной функции по длине дуги годографа равна единичному вектору касательной к годографу, направленному в сторону увеличения длины дуги.
Следствие
3. Если годограф векторной функции
рассматривать как траекторию движения
точки, а
- как время движения, отсчитываемое от
некоторого
,
то
по величине и направлению совпадает с
вектором скорости движения
.
В самом деле, скалярная величина скорости равна производной от пути по времени:
Кроме
того, вектор
направлен по касательной к траектории
в сторону движения, что соответствует
направлению возрастания
,
т.е. соответствует направлению
.
Т.о.
.
Рассмотрим
теперь
,
длина которого постоянна,
,
т.е.
(*) 
где
Дифференцируя (*), найдём:
,
т.е.
В
частности, производный вектор от любого
переменного по направлению единичного
всегда
.
Пусть
теперь
угол между радиусами единичной сферы,
проведёнными в точки
и
годографа
.
Тогда длина хорды
из треугольника
будет равна
Модуль производной от единичного переменного вектора равен угловой скорости вращения этого вектора.
Как и для скалярных функций, дифференциал векторной функции записывается в виде
Но
и тогда
