47) Асимптоты функции!!!

Довольно часто требуется исследовать форму кривой при неограниченном возрастании . Важным частным случаем является тот, когда исследуемая кривая при удалении её переменной точки в бесконечность (т.е. при расстояния от начала координат до этой точки) неограниченно приближается к некоторой прямой.

Определение. Прямая А называется асимптотой кривой, если расстояние от точки до этой прямой стремится к нулю.

Различают вертикальные асимптоты – т.е. параллельные OY, горизонтальные – т.е. параллельные OX и наклонные, т.е. не параллельные OY или OX.

1. Вертикальные асимптоты. Из определения следует, что если

,то прямая есть асимптота кривой , и обратно, что если есть асимптота, то выполняется одно из написанных равенств.

Следовательно, для нахождения вертикальных асимптот нужно найти такие , чтобы при . Тогда и будет асимптотой.

1. Наклонные асимптоты. Пусть имеет наклонную асимптоту .

Определим коэффициенты и . Пусть и . расстояние от до . По условию

Пусть - угол наклона к оси из ; т.к. , то (2’) .

При этом из (2) (2’) и наоборот. С другой стороны,

и (2’) приобретает вид:

2. .

3. Итак, если (1) есть асимптота, то выполняется (3) и, наоборот, если выполняется (3), то (1) – уравнение асимптоты.

4. Определим теперь и . Вынося за скобки, получим

5. 

6. Т.к. или

7. Зная теперь можно найти и из (3)

8. Итак, если есть асимптота, (*)

9. Обратное также справедливо. Если существуют пределы (*), то есть асимптота. Если же хотя бы один из пределов не существует, то асимптоты не имеет.

48) Исследование кривых, заданных параметрически (астроида, циклоида) и в полярной системе координат (спираль Архимеда, логарифмическая спираль)!!!

Пусть , исследуем аналогично .

1. Вычисляем

и .

2. Для точек кривой, вблизи которых кривая является графиком некоторой функции , вычисляем

.

3. Находим , при которых хотя бы одна из или обращается в нуль или терпит разрыв, следовательно, - критические точки. Затем в любом интервале , (а следовательно, и в любом ) определяем знак и тем самым находим области возрастания и убывания . Это даёт также возможность определить характер точек, соответствующих .

4. Далее находим

и исследуя на знак, определяем направления выпуклости кривой на любом интервале.

Для нахождения асимптот находим такие , что при или или , или и и .

Затем исследование проводится обычным способом. Другие особенности поясним на примерах.

Пример.

(1’)

и опр. для , но в силу периодичности . Тогда и кривая асимптот не имеет.

Далее

(*) при

(**)

На основании (*) и (**) составим таблицу:

обл. изм. t	x	Y	Знак	убыв., возр.
			-	убыв.
			+	возр.
			-	убыв.
			+	возр.

Из таблицы следует, что (1) определяет 2 непрерывных : при и при .

Из (**) следует, что и , т.е. в этих точках касательная к вертикальна. В точках же , т.е. касательная к - горизонтальна. Далее :

при - кривая вогнутая,

при - кривая выпуклая.

(астроида)