40) Необходимое и достаточное условие существования экстремума!!!

Теорема 1. (Необходимое условие существования экстремума).

Если f(x) дифференцируема на (a,b) и при x=x₁ имеет max или min (x₁(a,b)), ее производная обращается в нуль в этой точке, то есть f(x₁)=0 . Эта теорема более слабая, чем теорема Ферма, так как требует дифференцируемости функции на (a,b), тогда как теорема Ферма – дифференцируемости только в точке x₁.

Доказательство проводится аналогично: Пусть x₁ - точка максимума, …

Замечание. Если f(x) определена на [a,b], то она может достигать max или min только на (a,b). Так как ее поведение при x<a или x>b неизвестно.

Геометрический смысл: в точках min и max касательная параллельна ОХ.

Следствие. Если f(x) дифференцируема при любом x, то она может иметь экстремумы только в тех точках, в которых ее производная обращается в нуль. Обратное же, вообще говоря, неверно. То есть max или min не обязательно достигаются в точках, в которых f(x)=0.

Определение. Значения аргумента, при которых f(x)=0, или f(x) терпит разрыв, называются критическими точками или критическими значениями.

Из выше сказанного следует, что не при всяком критическом значении f(x) достигает min или max, но те точки, в которых достигается экстремум -критические.

Для нахождения экстремумов находят все критические точки, а затем исследуют любые из них. Исследование функции в таких точках опирается на следующие теоремы:

Теорема 2. (Достаточные условия существования экстремума). Пусть f(x) непрерывна в некоторой окрестности критической точки x₁(a,b) и дифференцируема в этой окрестности, за исключением может быть самой x₁. Если при переходе слева направо через производная меняет знак с + на -, то в x=x₁ функция достигает максимального значения, если же с - на + - минимум f(x).

Таким образом, если

Доказательство. Пусть f(x) изменяет знак с + на -, то есть рассмотрим случай a). Применим теорему Лагранжа:

f(x)-f(x₁)=f()(x-x₁), где (x,x₁)

1). Пусть далее x<x₁.  < x₁, f()>0, f()(x-x₁)<0 и следовательно f(x)-f(x₁)<0 или f(x)<f(x₁) (*)

2). x>x₁.  > x₁, f()<0, f()(x-x₁)<0 и следовательно f(x)-f(x₁)<0 или f(x)<f(x₁) (**)

Соотношения (*) и (**) показывают, что для любого x₁(a,b) f(x)<f(x₁)  f(x₁)=max f(x), x₁(a,b).

Аналогично доказывается вторая часть теоремы о достаточном условии минимума.

Геометрический смысл. Пусть x₁ достигается max f(x)  x< x₁, касательная к кривой образует острый угол , а при x< x₁,  - тупой. То есть до x₁ f(x) возрастает, а после x₁ f(x) убывает, таким образом в x₁ происходит переход от возрастания к убыванию.

Аналогично для минимума  f(x) убывает до x₁, а затем возрастает.

Если же f(x₃)=0, но и для x< x₃ и x< x₃ f(x) не изменяет знака  f(x) возрастает или убывает и до и после x₃ и экстремум не достигается.

y=x³, y=3x², y=f(x), при x=0, но при |x|>0 f(x)>0 - экстремума нет.

41) Схема исследования функции на экстремум!!!

1. Находится f(x).

2. Находятся критические x:

a) f(x)=0 и находятся действительные корни

Б) находятся x, при которых f(x) терпит разрыв.

3. Исследуется знак f(x) слева и справа от критической точки. Так как sign f(x)=const в интервале между критическими точками, то достаточно выбрать наиболее удобные для вычисления точки между критическими.

4. Вычисляются значения f(x) при любом критическом значении x.

В результате могут быть четыре возможных случая:

x<x1	x=x1	x>x1
+	f(x1)=0 или разрыв	-	max
-		+	min
+		+	f(x)
-		-	f(x)