38) Возрастание и убывание функций. Понятие об экстремуме!!!

Определение1. Функция y=f(x) называется возрастающей в промежутке (a,b), если для любых x₁, x₂(a,b) большему из них соответствует и большее значение функции.

x₁(a,b), x₂(a,b), x₂>x₁  f(x₂)>f(x₁)

Определение 2. Функция y=f(x) называется убывающей на (a,b), если для любых x₁, x₂(a,b) большему x соответствует меньшее значение f(x).

x₁(a,b), x₂(a,b), x₂>x₁  f(x₂)<f(x₁)

Из этих определений следует, что для возрастающих функции sign(y)=sign(x), в силу чего их отношение положительно:

Для убывающей функции sign(y)=-sign(x) 

Если функция на (a,b) переходит от возрастания к убыванию, или наоборот, ее называют колеблющейся на (a,b).

Значения x, при которых f(x) достигает своих наибольших или наименьших значений по сравнению с соседними, называют точками максимума и минимума.

Определение 3. x=x₀ - точка максимума f(x), а f(x₀) - максимум функции, если существует некоторая окрестность x₀ (т.е. x₀-, x₀+) такая, что значение функции в любой точке x₁(x₀-, x₀+) будет меньше, чем ее значение в x₀, то есть меньше, чем максимум f(x₀)

f(x₀+x)<f(x₀) при любом |x|<

Аналогично определяются точки максимума и минимума функции

f(x₀+x)>f(x₀) при любом |x|<

Точки минимума и максимума объединяются под общим названием – точки экстремума (экстремальные точки), а минимум и максимум функции – экстремумы функции.

Экстремумы функции, определенные выше, часто называют строгими экстремумами, в отличие нестрогих.

f(x₀+x)f(x₀) и f(x₀+x)f(x₀)

Из определения вытекает, что вне -окрестности x₀ значения f(x) могут быть любыми, по отношению к f(x₀).

Например за пределами (x₀-, x₀+), f(x+x)>f(x₀) – где x₀ - точка максимума, и аналогично f(x+x)<f(x₀), если x₀ - точка минимума f(x).

Таким образом понятия максимальной и минимальной функции носят локальный (местный) характер. Далее мы установим признаки возрастания и убывания функций и признаки экстремума функций, основанные на понятии производной.

39) Признак возрастания и убывания функции!!!

Теорема 1) Если f(x), дифференцируемая на отрезке [a,b], возрастает на этом отрезке, то f(x) неотрицательна на [a,b], то есть

f(x)0, x[a,b], если f(x),

2) Если f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема в (a,b), причем f(x)>0, x(a,b),  f(x) возрастает на [a,b].

Доказательство.

1-я часть. Пусть f(x) на [a,b]. Придадим x приращение x и рассмотрим

т.к. f(x) 

f(x+x)>f(x), если x>0

f(x+x)<f(x), если x<0

Но в обоих случаях

и следовательно

, что и следовало доказать.

2-я часть. Пусть f(x)>0, x(a,b). Рассмотрим x₁ и x₂, x₁>x₂, x₁,x₂[a,b]. По теореме Лагранжа f(x₁)-f(x₂)= (x₁-x₂). По условию теоремы f()>0, x₁-x₂>0 и f(x₁)-f(x₂)>0  f(x) возрастает.

Аналогично формулируется теорема для убывающей функции:

Теорема. Если f(x), дифференцируемая на отрезке [a,b], убывает на этом отрезке, то f(x)0 на [a,b], то есть

f(x)0, x[a,b], если

2) Если f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема в (a,b), причем f(x)<0, x(a,b),  f(x) убывает на [a,b].

Геометрический смысл. Если f(x), касательная к кривой образует острый угол  с ОХ, или в некоторых точках угол =0  касательная параллельна оси ОХ, так как tg0. Если f(x), угол  - тупой (или =180^о в отдельных точках  параллельна оси ОХ), так как tg=f(x)0.

Таким образом, теоремы позволяют судить о возрастании или убывании функций по знаку производных.