Вопрос 12. Нормальный закон распределения(закон Гаусса).

Закон распределения НСВ – предельный закон распределения.

Закон распределения суммы НСВ , имеющих произвольные законы распределения при увеличении числа слагаемых стремится к нормальному закону. НСВ распределена по нормальному закону, если ее плотность распределения задается f(x)=1/σ√2π*e^-(x-m)2/2 σ² (2.23)

f_max=1/(σ√2π) Kривая симметрична относительно m

M(x)= ^∞_-∞∫х^k f(x)dx=1/(σ√2π)*^∞_-∞∫xe^-(x-m)2/2 σ² dx

Z=(x-m)/σ→x=σz+m, dx= σdz

M(x)= 1/(σ√2π)* ^∞_-∞∫σze^-z2/2σdz+1/(σ√2π)* ^∞_-∞∫me^-z2/2σdz=σ/√2π*^∞_-∞∫ze^-z2/2dz+m/√2π*^∞_-∞∫e^-z2/2dz=m, так как σ/√2π*^∞_-∞∫ze^-z2/2dz=0(это интеграл симметричной функции в симметричных пределах)

M(x)=m, Д(x)=σ², σ(x)=σ

M(x) характеризует положение кривой распределения на оси абсцисс. При изменении величины m, кривая будет двигаться вдоль ох не менее своей формы.

σ₁

σ₂

σ₃ σ₁ <σ₂ <σ₂

F(x)= 1/(σ√2π)* ^x_-∞∫e xe^-(x-m)2/2 σ² dx

z=(x-m)/σ

F(x)= 1/(σ√2π)* ^(x-m)/σ_-∞∫e^-z2/2σdz=1/2π^(x-m)/σ_-∞∫e^-z2/2dz (2.24)

Функция Лапласа Ф(х)= 1/√2π* ^x_-∞∫e^-z2/2dz (2.25)

Свойства функции Лапласа:

1. Ф(х) – монотонно возрастающая функция, так как ее производная величина положительная. Ф(х)^’=1/√2π* e^-х2/2>0

2. Ф(х) - нечетная Ф(-х)=-Ф(х), Ф(0)=0

3. Ф(+∞)=1/√2π ^∞₀∫e^-z2/2dz=1/2

F(x) =1/√2π ⁰_-∞∫e^-z2/2dz+1/√2π ^(x-m)/σ₀∫e^-z2/2dz=1/2+Ф((x-m)/σ) (2.26)

P(α<X<β)=F(β)-F(α)

P(α<X<β)=Ф((β-m)/σ)-Ф((α-m)/σ) (2.27)

f (x)

β=m+l

α=m-l

α l l β x

m

P(m-l<X<m+l)=Ф(l/σ)-Ф(-l/σ)

Р(|X-m|<l)=2Ф(l/σ) (2.28)

L=z*σ

P(|X-m|<zσ)=2Ф(z) (2.29)

Z=3=>Ф(z=3)=0,4986

P(|X-m|<3σ)=0,9972≈1

m-3σ<x<m+3σ=> правило трех сигм. Следовательно достоверно , что отклонение нормально распределенной случайной величины от ее математического не превысит по абсолютной величине 3σ, то есть диапазон распределения (m-3σ; m+3σ)

Вопрос 13. Функция распределения системы двух случайных величин.

Функция распределения системы двух случайных величин X,Y(или совместной функцией распределения двух случайных величин) называется вероятность совместного выполнения двух неравенств: Х<x, Y<y.

F(x,y)=P(X<x,Y<y) (3.1)

Y

(x,y)

Вероятность попадания в этот квадрант есть функция

распределения

0

X

Основные свойства совместной функции распределения:

1. функция распределения F(x,y) – есть неубывающая функция своих аргументов, то есть

х₂>x₁→F(x₂,y)≥F(x₁,y)

y₂>y₁→ F(x,y₂)≥F(x,y₁)

2. повсюду на -∞ функция распределения равна нулю. F(x,-∞)=F(-∞,y)=F(-∞,-∞)=0

3. при одном из аргументов ,равных +∞, функция распределения системы превращается в функцию распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу.

2. F(x,+∞)=F₁(y), F(+∞,y)=F₂(y)

4. е сли оба аргумента равны +∞, функция распределения системы равна единице.

y

R

S

γ

α β x

A=((X,Y)ЄR)

B=(α≤x≤β)

C=(γ≤Y≤S)

A=B*C

y (α,S) (β,S)

S

γ

(α,γ) (β,γ)

α β x

P((X,Y)ЄR)=F(β,α)-F(α,S)-F(β,γ)+F(α,γ) (3.3)