Вопрос 3. Правило сложения.

1. для несовместных событий вероятность суммы 2 несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

А∩В=0, i≠j→Р(Σⁿ_i=1A_i)= Σⁿ_i=1P(A)

Следствия:

• если событие А₁, А₂,…,А_n несовместны и образуют полную группу, то их сумма вероятностей равна 1.

А_i∩A_j=0, i≠j, Uⁿ_i=1A_i=Ω→Σⁿ_i=1P(A_i)=1

• сумма вероятностей противоположных событий равна 1

Р(А)+Р( А)=1

Р(А)=1-Р( А)

А={ω_2,ω₃,ω₄}

A={ω₁} – вероятность появления хотя бы 1 герба Р(А)=1 – Р{ЦЦ}

2. д ля совместных событий

А

В

С

А=

В=

С=

Р(А+В)= Σ_ωi€AUBP(ω_i)= Σ_ωj€AР(ω_i)+ Σ_ωk€B-Σ_ωl€ABP(ω_l)=Р(А)+Р(В)+Р(АВ)

(А₁+А₂+…+А_n)= А₁∙ А₂∙…∙ А_n

То в соответствии со следствием 2:

Р(А₁+А₂+…+А_n)=1-Р(А₁+А₂+…+А_n)=1-P( A₁∙…∙ A_n)

Вопрос 4. Правило умножения вероятностей.

n- число опытов

m(А)- число опытов, в которых появляется событие А

m(В)- событие В

m(АВ)- событие А и В

m(А)/n; m(В)/n; m(АВ)/ n – частота появления событий

m(AB)/P(B) – относительная частота

m(AB)/P(B)=m(AB)/n÷m(B)/n, то есть Р(А/В)=Р(АВ)/Р(В) –(1.11) вероятность появления А, при условии, что произошло событие В(условная вероятность)

Р(В)≠0

Р(В/А)=Р(АВ)/Р(А); Р(А)≠0 (1.12)

Р(А/В)∙Р(В)=Р(В/А)∙Р(А)=Р(АВ) (1.13) – правило умножения вероятностей

Вероятность произведения событий равна вероятности 1 события , умноженного на условную вероятность другого:

Р(АВ)=Р(В)∙Р(А/В)=Р(А)∙Р(В/А)

Примеры:

• из урны, содержащей 4 белых и 5 черных шаров, последовательно извлекаются 2 шара. Определить вероятность того, что шары оба будут белые.

А- первый шар будет белый

В-второй шар будет белый

АВ-оба шара белые

Применим подсчет вероятностей к составленному событию С.

Р(С)=m(С)/n

n=А²₉(важен порядок следования)

С²₃=>(1 и 2),(1 и 3),(2 и 3)

А²₃=>(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)

n=А²₉=9!/7!=72

m(C)=A²₄=4!/2!=12=>P(C)=12/72=1/6

Р(А)=m(A)/n=4/9

P(B/A)=m(B/A)/n=3/8

P(AB)=4/9*3/8=1/6

14. Р(А_1,А_2,…,А_n)=Р(А₁)*Р(А₂/А₁)*Р(А₃/А₁А₂)*…*Р(А_n/А₁А₂…А_n-1)

2 события А и В называются независимыми, если появление 1 из них не меняет вероятности появления другого. В противном случае события называются зависимыми.

(1.15) Р(А/В)=Р(А); Р(В/А)=Р(В) – независимые. Независимость событий взаимна. Если А не зависит от В, то и В не зависит от А.

Р(А/В)≠Р(А);Р(В/А)≠Р(В) – зависимость событий также взаимна.

Правило умножения вероятностей для независимых событий:

14. Р(АВ)=Р(А)∙Р(В)

Р(Пⁿ_i=1А_i)= Пⁿ_i=1Р(А_i)

• Опыт состоит в бросании 2 монет. Рассматриваются события:

А={Г,1 монета(герб на первой монете)}

В={Г,2 монета}

С={хотя бы 1 цифра}

D={2 цифры}

Надо определить, зависимы или нет пары событий: А и В, А и С, В и D.

Ω:ω₁=(Г,Г) ω₂=(Г,Ц) ω₃=(Ц,Г) ω₄=(Ц,Ц)

Р(ω_i)=1/4 i={1,2,3,4}

А={ ω₁, ω₂}, Р(А)=1/2

B={ ω₁, ω₃}, Р(В)=1/2

C={ ω₂, ω₃, ω₄}, Р(С)=3/4

D={ω₄}, Р(D)=1/4

АВ={ ω₁}, Р(АВ)=1/4

Р(А/В)=Р(АВ)/Р(В)=1/4÷1/2=1/2=Р(А)

Р (В/А)=Р(АВ)/Р(А)=1/4÷1/2=1/2=Р(В) то А и В независимы

АС={ω₂}, Р(АС)=1/4

Р (А/С)=Р(АС)/Р(С)=1/4÷3/4=1/3≠Р(А)=1/2

Р (С/А)=Р(АС)/Р(А)=1/4÷1/2=1/2≠Р(С)=3/4 то А и С зависимы