Вопрос 19. Неравенство Чебышева(Закон больших чисел.).

Неравенство Чебышева:

Пусть имеется случайная величина x с математическим ожиданием m_x и дисперсией D_x. Для любого α>0 вероятность того, что величина x отклонится от своего математического ожидания не меньше, чем на α, ограничена сверху D_x/α².

P(|X - m_x| ≥ α) ≤ D_x/α² (4.1)

Другая трактовка этого неравенства (противоположное событие):

P(|X - m_x| < α) ≥ 1 – D_x/α²

X – непрерывная случайная величина.

_A ∞

P(|X - m_x|≥α) = P(X∉(A, B)) = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx

-∞ ^B |x-m_x|≥α

∞ ∞

D_x=∫(x – m_x)²f(x)dx =∫|x - m_x|²f(x)dx ≥ ∫|x - m_x|²f(x)dx ≥ ∫α²f(x)dx = α²∫f(x)dx = α²P(|x-m_x|≥α)

-∞ -∞ |x-m_x|≥α |x-m_x|≥α |x-m_x|≥α

Пример применения неравенства Чебышева:

X – случайная величина с математическим ожиданием m_x и дисперсией D_x. Оценить сверху вероятность того, что величина x отклонится от mx не меньше, чем на 3σ_x.

α = 3σ_x

P(|X - m_x| ≥ 3σ_x) ≤ D_x/9 σ_x² = 1/9 = 0,111

Неравенство Чебышева дает оценку для любого закона распределения. Если речь идет о конкретном законе распределения, то эта оценка будет улучшена.