Вопрос 17. Математическое ожидание функции. Дисперсия функции.

Y = φ(X₁, X₂, …, X_n)

Одна случайная величина является функцией других случайных величин.

Известен закон распределения f(X₁, X₂, …, X_n). Требуется найти M(Y) и D(Y).

∞

f(y) => M(Y) = ∫ yf(y)dy

-∞

Этот подход либо очень сложен, либо неприменим вообще.

Y = φ(X), X- ДСВ, Y – ДСВ.

X	X1	X2	…	Xn
P	p1	p2	…	pn

φ(x)	φ(x)	φ(x)	…	φ(x)
P	p1	p2	…	pn

Этот неупорядоченный ряд может использоваться для вычисления M(Y).

_n

M(Y) = M[φ(x)] = ∑φ(x_i)p_i (3.24)

ⁱ⁼¹

∞

Для НСВ: M(Y) = M[φ(x)] = ∫ φ(x)f(x)dx (3.25)

-∞

z = φ(X, Y)

ДСВ: M(z) = M[φ(X, Y)] = ∑∑φ(x_i, y_j)p_ij (3.26)

^{i j}

∞∞

НСВ: M(z) = M[φ(X, Y)] = ∫ ∫ φ(x, y)f(x, y)dxdy (3.27)

-∞-∞

_n

ДСВ: D(Y) = ∑[φ(x_i) – m_y]²p_ij (3.28)

ⁱ⁼¹

_n

D(Y) = ∑[φ(x_i)]²p_i – [M(Y)]² (3.29)

ⁱ⁼¹

3.29 является аналогом 2.17

∞

НСВ: D(Y) = ∫ [φ(x) – m_y]²f(x)dx (3.30)

-∞

∞

D(Y) = ∫ [φ(x)]²f(x)dx – [M(Y)]² (3.31)

-∞

Вопрос 18. Теоремы о числовых характеристиках.

1). Если C – неслучайная величина, то M(C) = C, D(C) = 0 (3.32)

M(C) = C*1 = C

D(C) = M(Ċ²) = M[(C – m_c)²] = M[(C – C)²] = M(0) = 0

2). Если c – неслучайная величина, а X – случайная, то M(cX) = cM(X), D(cX) = c²D(X)

3). Теорема сложения математических ожиданий

M(X + Y) = M(X) + M(Y) (3.34)

Z = X + Y

M(Z) = M(X + Y) = ∑∑(x_i + y_j)p_ij = ∑x_i∑p_ij + ∑y_j∑p_ij = ∑x_ip_i + ∑y_jp_j = M(X) + M(Y)

^{i j i j j i i j}

_{n n}

(∑x_i) = ∑M(X_i) (3.35)

^{i=1 i=1}

3.34 и 3.35 выполняются для независимых и зависимых случайных величин.

4). M(XY) = M(X)M(Y) + k_xy (3.36)

5). Теорема умножения математических ожиданий (частный случай пункта 4).

Для некоррелированных случайных величин: M(XY) = M(X)M(Y) (3.37)

_{n n}

M(∏X_i) = ∏M(X_i) (3.38) X_i – независимые

^{i=1 i=1}

6). Дисперсия суммы двух случайных величин.

D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2k_xy (3.39)

_{n n n-1 n}

D(∑X_i) = ∑D(X_i) + 2∑∑k_ij (3.40)

^{i=1 i=1 i=1 j=i+1}

7). Теорема сложения дисперсий (для некоррелированных случайных величин):

D(X + Y) = D(X) + D(Y) (3.41)

_{n n}

D(∑Xi) = ∑D(Xi) (3.42)

^{i=1 i=1}

Производится n-опытов (опыты могут быть зависимыми и независимыми), в каждом из которых может появиться или не появиться событие A. Вероятность появления события A в i-опыте P_i. Требуется найти математическое ожидание числа появления события A в опытах.

X – число появлений события А в n-опытах.

X_i – число появлений А в i-опыте.

_n

X = ∑X_i

ⁱ⁼¹

0, A в i-опыте не появляется

X_i =

1, А в i-опыте появляется

xi	0	1
p	qi	pi

q_i = 1 - p_i

M(xi) = pi

_{n n}

M(X) = ∑x_i = ∑p_i (3.43)

^{i=1 i=1}