11. Представление и применение поверхностей в кг.

1. Явное описание поверхности.

Плоская кривая задается ур-ем в явном видеY=f(x) (Y=kx+b; Y=√(R²-x²))

Такое представление имеет существенные недостатки. Например ур-е Y=kx+b не позволит описать вертикальную прямую, а окружность (фигура симметричная) может быть описана в этом виде как половина либо верхняя либо нижняя. Эта особенность явного описания зависима от системы координат и эту особенность нужно учитывать при разработке ПО. Кривая поверхность описывается 2-я ур-ями Y=f(x) Z=g(x).

Z=f(x,y) - определяет поверхность, которую любая прямая, параллельная оси Z протыкает не более чем в одной точке. В КГ такое задание поверхности строится в виде сетки координатных линий при x=const и y=const. Линии рисуются в порядке удаления, и при выводе очередной рисуется только та ее часть, которая не закрывается ранее нарисованными(алгоритм плавающего горизонта). Пример Z=a(X¤+Y¤) -параболоид вращения. Явное задание квадратичной поверхности (второго порядка) применяют в методе обратного трассирования луча.

2. Неявное описание поверхностей.

F(x,y,z)=0. Если функция F(x,y,z)=0 многозначна, рассматривают ее однозначные ветви. Используются функции различных порядков. Поверхности 1-го порядка имеют формулу : ax+by+cz+d=0 Ее приводят к нормализованному виду : (a¤+b¤+c¤=1) При решении многих задач нужно располагать уравнением нормали к поверхности в точке, которое можно получить с помощью неявной формы задания.

Т.к. F(x,y,z)=const , то *dx+ *dy+ *dz=0 (1) dx,dy,dz - изменение координат вдоль поверхности, поэтому можно считать,что они определяют вектор , касательный к поверхности , и тогда (1) можно интерпретировать как скалярное произведение вектора, координатами которого служат частные производные, на вектор, касательный к данной поверхности. N=grad F

В зависимости от коэффициентов a...j данное уравнение может описывать: две плоскости,цилиндр, конус, гиперболоид, параболоид, эллипсоид Неявная форма задания используеся в методе твердого описания объектов, при трассировании лучей, т.к. существуют простые приемы определения взаимного расположения точек и поверхности такого типа, точек пересечения прямой и поверхности.

3. Параметрическое задание поверхности.

¦ x=Fx(U,V) U,V - параметры, принадлежащие ОДЗ

¦ y=Fy(U,V) или r=r(U,V)

¦ z=Fz(U,V)

Для полного построения поверхности нужно с определенным шагом перебрать множество пар U и V, вычисляя для каждой пары значение x, y, z в пространстве. Предполагается, что D - квадрат со стороной 1. Любую поверхность, которая описана неявно,можно описать параметрически, обратно не всегда. Плоскость, проходящая через (*)(x0,y0,z0) и векторы нормали n1 и n2, определяется:

¦x = x0+U*n1x+V*n2x или r = r0+U*n1+V*n2,

¦y = y0+U*n1y+V*n2y где r - вектор =ix+jy+kz

¦z = z0+U*n1z+V*n2z r0 = ix0+jy0+kz0

nmx,nmy,nmz - проекции вектора nm на оси Ox,Oy,Oz. m=1,2.

Нормаль к плоскости в параметрическом виде:

¦ i j k ¦

N=n1*n2=¦ n1x n1y n1z ¦

¦ n2x n2y n2z ¦

Наиболее часто в задачах КГ используются параметрические, бикубические поверхности.Они простейшие среди форм поверхностей, обладаюших непрерывностью составной функции и ее частных производных. Составная функция - функция, составленная из нескольких сложных бикубических участков. Эти поверхности могут описывать любые геометрические формы. Недостаток: трудоемкость описания и большие вычислительные затарты. Преимущества: -возможность передачи геометрической формы сложных поверхностей,которые нельзя описать другими способами. -легко ограничиваются в пространстве путем задания пределов изменения параметров. Т.к. параметрическое задание подразумевает наличие точки на объекте, это затрудняет его использование в алгоритмах синтеза изображения.

Параметрическое задание сферы с центром в точке О(0,0,0):

¦x = cos(U)*cos(V)

¦y = sin(U)*sin(V)

¦z = sin(V)