4. Геометрические преобразования изображений на плоскости.

Системы координат.

Система координат - совокупность правил, ставящая в соответствие каждому объекту набор чисел (координат). Их число называется размерностью пространства. В КГ применяются следующие системы координат: -аффинная - декартова - полярная - цилиндрическая - сферическая

Их выбор определяется классом решаемых задач. В зависимости от структуры представления объектов и процесса обработки данных используют глобальную 2D-3D СК(в ней опис связь объектов сцены) и лок 2D-3D СК, как СК 1 объекта для его моделир.

Координаты мировой системы координат иногда приводят к нормализованному виду.В приборной - всегда нормализованы.

Основные свойства аффинных преобразований.

- сохраняют прямолинейность линий

- сохраняют параллельность линий, деление отрезков в заданных отношениях, отношение площадей и объемов геометрических фигур.

- существует единственное преобразование плоскости, переводящее исходную тройку неколлинеарных точек в новую тройку таких же точек.

- если преобразование осуществляется в перпендикулярных дкартовых координатах, сохраняются все матричные свойства геометрических фигур.

Собственным аффинным преобразованием называется такое преобразование, при котором определяющие его системы координат одноименные (обе правые или обе левые), иначе преобразование несобственное. Правые - совмещение оси X с Y идет против часовой стрелки, иначе левые. Более широкий класс преобразований, которые сохраняют прямолинейность линий, но не сохраняют параллельность - дробно-линейчатые. Используются при построении перспективных проекций. Другие типы преобразований могут искривлять линии и плоскости, отображать первичную плоскость на всю (часть) вторичную и т.д. Это может быть использовано для направленной деформации объектов в процессе геометрического конструирования и синтеза новых форм.

Однородные координаты.

Классический подход к геометрическим преобразованиям требует использования отдельной матрицы на каждое преобразование. Для КГ - это увеличение объема вычислений. Необходимым математическим аппаратом, обеспечивающим более компактное описание геометрического преобразования, является метод однородных координат. В основе этого метода лежит представление точки в n-мерном пространстве как проекции точки из (n+1)-мерного пространства.Пусть на плоскости задана аффинная система кооординат XOY и (.)P(x,y).Тогда любая тройка чисел (x1,x2,x3), про порциональная тройке (x,y,1), называется однородными координатами (.)P в данной СК. Однородные координаты (.)P на плоскости - любая тройка чисел (x,y,1), умноженная на n<>0. В КГ используют (x,y,1) n=1 – однородные координаты точки P на плоскости XOY.

6. Аффинные преобразования в пространстве.

Аналитически выражаются невырожденным линейным преобразованием вида:

¦ x'= ax+by+m ¦ a b ¦

¦ y'= cx+dy+n , причем ¦ c d ¦ <> 0

*) Если m и n <> 0 , то новая и старая СК имеют одно и то же начало и преобразование может быть представлено в матричном виде:

¦ x' y'¦ = ¦x y¦*¦ a c ¦ = ¦ax+by;cx+dy¦ (1)

¦ ¦ ¦ ¦ ¦ b d ¦ ¦ ¦

*) Если m и n <> 0, то использование однородных координат дает формулу для преобразований:

¦ ¦ ¦ ¦ ¦ a c 0 ¦ ¦ ¦

¦x' y' 1¦ = ¦x y 1¦*¦ b d 0 ¦ = ¦ax+by+m;cx+dy+n¦

¦ ¦ ¦ ¦ ¦ m n 0 ¦ ¦ ¦

Если исходная и новая СК прямоугольные и декартовые, то формула (1) имеет вид для собственных движений:

¦ x'= x*cos(Q)-y*sin(Q)+m

¦ y'= x*sin(Q)+y*cos(Q)+n

В матричном виде:

¦ ¦ ¦ ¦ ¦ cos(Q) sin(Q) 0 ¦

¦x' y' 1¦ = ¦x y 1 ¦ * ¦-sin(Q) cos(Q) 0 ¦

¦ ¦ ¦ ¦ ¦ m n 1 ¦

Повоpот вокруг:

OХ OY

[1 0 0 0] [cosФ 0 -sinФ 0]

[0 cosФ sinФ 0] [0 1 0 0]

[R]= [0 -sinФ cosФ 0] [R]= [sinФ 0 cosФ 0]

[0 0 0 1] [0 0 0 1]

OZ

[ cosФ sinФ 0 0]

[-sinФ cosФ 0 0]

[R]= [ 0 0 1 0]

[ 0 0 0 1]

Растяжение\сжатие:

[A 0 0 0] A,B,C>0

[D]= [0 B 0 0] A-вдоль OX

[0 0 C 0] B-вдоль OY

[0 0 0 1] C-вдоль OZ

Отpажение относительно:

XOY YOZ ZOX

[1 0 0 0] [-1 0 0 0] [1 0 0 0]

[0 1 0 0] [ 0 1 0 0] [0 -1 0 0]

[Refl]=[0 0 -1 0] [ 0 0 1 0] [0 0 1 0]

[0 0 0 1] [ 0 0 0 1] [0 0 0 1]

Перенос:

[1 0 0 0]

[T]=[0 1 0 0]

[0 0 1 0]

[L M N 1]