математический анализ. 2 семестр. Логинов А.С. 2007 г. loginov_1999@mail.ru
Глава 1. Интегральное исчисление
§1. Первообразная, неопределенный интеграл
1.Определения
Интегрирование – обратная операция к дифференцированию.
Пусть X – связное множество, т.е. множество, которое вместе с любыми своими точками содержит и отрезок, их соединяющий. Функция F(x) называется первообразной для f(x) на связном множестве X, если F(x) = f(x).
Примеры:
1) f(x)=0, F(x)=C (Const), X=(-,)
f(x)=a (Const), F(x)=a x+C, X=(-,)
f(x)=cos x, F(x)=sin x+C, X=(-,)
f(x)=1/x, F(x)=ln x+C, X=(0,)
f(x)=1/x, F(x)=ln |x|+C, X=(- , 0)
Замечание. Если F – первообразная для f на связном множестве X, то F1 =F +C также является первообразной для f, и наоборот, если F1 , F- первообразные для f, то F1 =F +C (Следствие из теоремы Лагранжа).
Пример. Функции F1= ln |x| и F2=ln|x| + sign x имеют общую производную f(x)=1/x на множестве X=(-,0)(0,), в то время, как их разность sign x не являются константой на X. Таким образом, условие: «X – связное» – существенно. Говоря о первообразной на каком-то множестве, всегда будет предполагаться, что это множества связное.
Определение. Совокупность всех первообразных для f на связном X (если они существуют) называется неопределенным интегралом функции f и обозначается
Таким образом, если F – первообразная для f на X, то
=F(x)+C
на X
Замечание. В
обозначении неопределенного интеграла
буква x
несет смысловую нагрузку переменной
для функции F(x)+C.
Так, если x=(t),
то можно написать
F((t))+C
=
,
таким
образом, интеграл справа понимается,
как суперпозиция функций
и
x=(t).
2.Свойства неопределенного интеграла
1)
,
в частности,
2)
=f+C
3)
,
с точностью до аддитивной постоянной.
4)
,
с точностью до аддитивной постоянной.
3.Таблица неопределенных интегралов
1)
+ С,
a
- 1.
2)
=ln|x|
+ С, X={x>0}
или X={
x<0
}, но не на X=(-,0)(0,)
3)
+
C, a1,
=ex+C
4)
sin
x dx = - cos x + C,
cos
x dx = sin x + C
5)
,
6)
x + C,
+ C
7)
=tg
x + C,
=-ctg
x + C
8)
+ C
9)
+
C
10)
x
dx = ch x + C,
x
dx = sh x + C
11)
=
th x + C,
=
-cth x + C
§2. Два основных метода интегрирования
Замена переменного
Если F(x)–
первообразная для f(x)
на X
т.е.
=F(x)+C
, если x=(t)
дифференцируема на T
и определена
суперпозиция
=
F((t))+C,
тогда функция
(t)=f((t))(t)
имеет первообразную, равную F((t)).
Таким образом,
=
(формула
замены переменного).
Для доказательства достаточно продифференцировать левую и правую части и убедиться, что получится одна и та же функция.
Примеры:
cos t dt
=
d
sin t =
+
C, x = sin t.
J
=
,
сделаем
замену x
= t6,
тогда
J=6
=6
=6t
– 6 arctg t + C =6
-6
arctg
+C
Интегрирование по частям
Если u(x), v(x) – дифференцируемы на отрезке X и существует
dv
=
(x)v(x)dx,
тогда
существует
du
и выполняется
равенство
du
= uv
-
dv
(формула
интегрирования по частям)
Доказательство.
Пусть
dv
= F(x)+C.
Тогда функция uv
– F
будет
искомой, что можно проверить
дифференцированием.
Пример.
Для интеграла
x
dx
выберем функции: v(x)
= ln
x,
u(x)
= x,
тогда
x
dx =x ln x -
=x
ln x – x + C.
§3. Разложение рациональной функции на простейшие дроби и их интегрирование
1.Предварительные сведения из алгебры многочленов
а) Если a вещественный корень многочлена , то существует единственное представление многочлена в виде
P(x) = (x – a) P1(x), 1, P1(a)0.
Число называется кратностью корня. Другое эквивалентное определение кратности корня дается в терминах производных: – это порядок первой, не равной нулю производной в точке a: P(a)= P(a)=…= P(-1)(a)=0, P()(a)0.
б)
Если w
= u
+ i
v,
v0
комплексный
корень многочлена с действительными
коэффициентами, то сопряженное комплексное
число
=
u
- i
v
также является корнем многочлена. Это
утверждение следует из свойств операции
комплексного сопряжения:
,
,
для действительного числаx
справедливо
равенство
. Поэтому, еслиw
корень
многочлена P(x)
= a0+…+akxk+…+
anxn
, то
=
=
=P(
).
Тогда существует единственное представление многочлена в виде
P(x) = (x2+px+q) P1(x), 1, P1(w)0,
(x
- w)(x -
)=(x
- u - i v)(x - u + i v)=(x-u)2+v2=x2-2ux+u2+v2=
x2+px+q.
в) Любой многочлен можно разложить в произведение по своим корням
,
где
A
– старший
коэффициент многочлена,
a1,a2,…,
ar
-действительные
корни кратностей 1,2,…,
r
, а w1,w2,…,
ws
комплексные корни кратностей 1,2,…,
s.
Связь между
комплексными корнями и сомножителями
в разложении многочлена следующая
x2+pkx+qk=(x
- wk)(x
-
k).
Определение.
Рациональная
функция ( отношение двух многочленов)
)
называется правильной дробью, если
порядок многочлена числителя строго
меньше порядка многочлена в знаменателе.
Утверждение. Любую рациональную функцию можно представить в виде многочлена (целая часть) плюс правильная дробь .
,
- R(x)
– многочлен, дробь
-
правильная.
R(x) –называется целой частью, а дробь P1/Q1 –остатком. Остаток и целую часть можно получить делением «уголком».
Пример:
