4.Первая теорема Гюльдена

Предположим, что масса m_k расположена на расстоянии y_k от оси ox. Статический момент материальной точки массы m относительно оси ox равен y_k m_k . Статические моменты системы из n точек относительно осей ox, oy равны

M_x=, M_y=

Центр тяжести системы – это точка, обладающая следующим свойством: если в эту точку поместить сосредоточенную массу системы, то статический момент этой точки относительно любой оси совпадает со статическим моментом всей системы относительно этой оси. В частности, выпишем равенство статических моментов дискретной системы относительно осей ox, oy.

XM=,YM=, M=

X=, Y= (3)

Если масса распределена вдоль кривой  :x=x(s),y=y(s), параметризованной длиной дуги и имеющей линейную плотность распределения (s), то соотношения (3) для координат центра тяжести примут интегральный вид

, Y=(4)

Если положить (s)=1, то из второго равенства получим

2Yl=2=().

Последнее соотношение означает, что площадь поверхности, полученной вращением кривой вокруг оси с равномерно распределенной массой, равна длине этой кривой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести этой кривой (первая теорема Гюльдена).

Пример. Пересчитать площадь поверхности тора по теореме Гюльдена.

5.Вторая теорема Гюльдена

Объем тела, полученного вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости этой фигуры и не пересекающей эту фигуру, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описываемой центром тяжести этой фигуры.

математический анализ. 2 семестр. Логинов А.С. 2005 г. loginov_1999@mail.ru31