§6. Определенный интеграл, как функция верхнего предела

1.Производная интеграла по верхнему пределу

Отметим, что ранее была доказана

Теорема 1. Если f интегрируема на [a,b], то F(x) = dt непрерывна на [a,b].

Теорема 2. Если f непрерывна на [a,b], то F(x) = dt дифференцируема на [a,b] и F(x) = f(x).

Доказательство.

dt = f(), где [x, x+x] или [x+x, x].

Следствие. Всякая непрерывная на [a,b] функция f(x) имеет на [a,b] первообразную

dx = dt + C (1).

2. Формула Ньютона-Лейбница

Теорема. Если интегрируемая на [a,b] функция f имеет там первообразную F(x), то

dx = F(b) – F(a) =.

Доказательство. F(b) – F(a) = dx.

Замечание. Если f непрерывна, то формула Ньютона-Лейбница следует из (1).

§7. Методы вычисления определенных интегралов

1.Замена переменных в определенном интеграле

Теорема 1. Пусть f(x) непрерывна на [a,b], (t) непрерывна вместе с производной на [,], причем (t)[a,b], если t[,], ()=a, ()=b. Тогда

dx = (t) dt (2)

Формула (2) называется формулой замены переменного в определенном интеграле.

Доказательство. Оба интеграла в (2) существуют. Пусть F(x) первообразная функции f(x) , тогда F((t)) существует и является первообразной функции f((t))(t). По формуле Ньютона-Лейбница

dx = F(b) – F(a), (t) dt = F(()) – F(()) = F(b) – F(a).

Замечание. Формула (2) иногда записывается в виде

dx = d (t).

2.Интегрирование по частям

Теорема 2. Если функции u(x), v(x) непрерывны вместе со своими производными на [a,b], то

dx = - dx (3)

Доказательство.

= dx = dx =dv + du.

§8. Остаточный член формулы Тейлора в интегральной форме

Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b] и имеет там непрерывные производные до порядка n+1. Тогда для всех x из [a,b] справедлива формула Тейлора с остатком в интегральной форме

f(x) = .

Доказательство. Обозначим R_n+1=, U_k=. Интегрируя по частям получим

R_n+1==+ R_n=– U_n+ R_n =– U_n – U_n-1+ R_n-1=…= - + R₁=-+= -+ f(x) – f(a).

§9. Некоторые применения определенного интеграла

1.Длина дуги гладкой кривой

Ранее была доказана теорема. Если кривая

.

непрерывно дифференцируема, то длина ее дуги s(t) от начала кривой до точки с параметром t является строго монотонно возрастающей, непрерывно дифференцируемой функцией и

.

Следствием является

Теорема. При тех же условиях длина кривой равна

s = dt (1).

Утверждение следует из предыдущей теоремы с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Замечание 1. В плоском случае

s = dt.

Замечание 2. Если в качестве кривой рассматривается график функции f(x) на отрезке [a,b], то эту кривую можно параметризовать t[a,b] и ее длина будет вычисляться по формуле

s = dx.

Замечание 3. Для графика функции, заданной в полярных координатах r(), [,]

s = d.

Для вывода этой формулы следует рассмотреть параметризацию кривой

[,].

§10. Площадь плоской области

1.Квадрируемые фигуры

Многоугольником P в этом параграфе называется внутренняя часть области, ограниченной замкнутой не самопересекающейся ломаной L. Для простоты формулировок, объединение конечного числа многоугольников будет также называться многоугольником (см рис.).

Сама ломанная L (или ломанные) называется границей многоугольника P и обозначается P. Многоугольник плюс граница обозначается =P+P. Для области, показанной на рисунке, граница состоит из четырех замкнутых ломаных. Будем предполагать известным понятие площади для многоугольников. Под областью в этом параграфе будем понимать ограниченное множество, для которого существует хотя бы один вписанный многоугольник. Можно ограничиться множествами, ограниченными одной или несколькими замкнутыми кривыми, ограничивающими рассматриваемое множество.

Определение. Индексом i будем обозначать многоугольники, вписанные в заданную область D, P_i  DD (D – кривая, ограничивающая область D ). Индексом e будем обозначать описанные многоугольники, P_e  DD. Площадь многоугольника P будем обозначать через P.

Для площади многоугольников известно свойство монотонности: если PQ, то P  Q.

Определение. Нижней площадью области D назовем величину

D = sup P_i , по всевозможным вписанным многоугольникам.

Верхней площадью области D назовем величину=inf P_e , по всевозможным описанным многоугольникам.

Здесь мы будем рассматривать лишь ограниченные области, для которых множество вписанных многоугольников не пусто. В этом случае верхние и нижние площади будут существовать.

Лемма. D  .

Доказательство. От противного. Пусть  D (см. рис. ).

Выбираем непересекающиеся окрестности чисел ,D . По определению нижней и верхней площадей найдутся два многоугольника P_i , P_e , один с площадью P_e из выбранной окрестности числа ,другой с площадью из окрестности числа D . Согласно выбору окрестностей P_e < P_i , что противоречит свойству монотонности площадей для многоугольников.

Определение. Область D называется квадрируемой, если =D. Эта общая величина называется площадью и обозначается D.

Теорема (критерий квадрируемости). Для того, чтобы ограниченная область D была квадрируемой Н. и Д., чтобы >0 P_e , P_i : P_e - P_i < .

Доказательство. Для любых P_e , P_i из доказанной леммы и из определений нижней и верхней площадей следуют неравенства

P_i  D   P_e ,

откуда и следует требуемое утверждение.

Определение. Множество D имеет площадь 0, если его можно покрыть многоугольниками со сколь угодно малой суммарной площадью.

Если область D определена ограничивающей ее замкнутой кривой D, то для квадрируемости D необходимо и достаточно, чтобы ее граница D имела площадь равную нулю.