§5. Свойства определенного интеграла
1.Простейшие свойства
Если f и g интегрируемы на [a,b], то f + g также интегрируема на [a,b] и
(f(x)
+ g(x))dx =
f(x)dx
+
g(x)dx.
Доказательство. Так как |f(x)+g(x) – f(y) – g(y)| |f(x)– f(y) |+| g(x)– g(y)|, то для заданного разбиения будет выполнено неравенство
k (f+g) =sup|f(x)+g(x) – f(y) – g(y)| sup(|f(x)– f(y) |+| g(x)– g(y)|)
sup|f(x) - f(y)|+ sup|g(x) – g(y)|= k (f)+ k(g)
Отсюда
S(f+g ,) – s(f+g ,)=k(f+g) xk k(f) xk + k(g) xk .
Откуда следует интегрируемость суммы. Далее для стандартной последовательности интегральных сумм
m(f+g) = m(f) + m(g).
переходя к пределу при m получим требуемое равенство.
Если f интегрируема на [a,b] , то cf(x) также интегрируема и
c
f(x)dx =c
f(x)dx.
Утверждение следует из соотношения (cf,,)= c(f,,) для интегральных сумм.
Если f интегрируема на [a,b] , то |f(x)| также интегрируема и
|
f(x)dx
| 
|f(x)|dx.
Доказательство. Дано разбиение . Тогда
k(|f|) =sup||f(x)| –| f(y)|| sup|f(x)– f(y) |= k(f) .
Откуда следует интегрируемость | f |. Далее для стандартной последовательности интегральных сумм
|m(f)| m(|f|).
переходя к пределу при m получим требуемое неравенство.
Если f, g интегрируемы на [a,b] , то f(x)g(x) также интегрируема.
Доказательство. Так как функции интегрируемы, то они ограничены |f(x)|M, |g(x)|M . Выполнено соотношение
|f(x)g(x) – f(y)g(y) = f(x)g(x) – f(x)g(y) + f(x)g(y) – f(y)g(y) =
= f(x)(g(x) –g(y)) + g(y)( f(x) – f(y)).
Тогда для заданного разбиения будет выполнено неравенство
k(fg) Mk(g) + Mk(f) и, следовательно, функция f(x)g(x) интегрируема.
Если f отлична от 0 лишь в конечном числе точек, то она интегрируема и ее интеграл равен нулю.
Доказательство. Для одной точки
или
=0,
в зависимости от того, попадет единственная
точка, где функция отлична от нуля, в
число промежуточных точек или нет. Во
всяком случае |(f,,)|
M().
Следствие. Если f1 интегрируема, и f2 отлична от f1 на конечном числе точек, то f2 также интегрируема и
f1(x)dx
=
f2(x)dx
.
Доказательство. f2 = f1 + ( f2 – f1 ).
6)
1
dx = b – a.
Если a < b , то по определению полагают
dx
=
-
dx
.
Если f и g интегрируемы на [a,b] и f g на [a,b] , то
dx
dx
.
Для стандартной последовательности интегральных сумм m(f) m(g).
2. Теоремы о среднем, аддитивность по множеству, неравенство Коши-Буняковского.
Теорема 1. Если m f(x) M на [a,b], то [m,M] такая, что
dx
=
(b – a).
Доказательство. ( a < b)
m(b -
a)=
m
dx
f(x)
dx
M
dx = M(b – a).Откуда
и =
.
Следствие. Если f непрерывна, то [a,b]:
f(x)
dx = f()
(b – a).
Теорема 2. Если m f(x) M на [a,b], f(x), g(x) интегрируемы и g(x) постоянного знака на [a,b], то [m,M] :
f(x)g(x)
dx =
g(x)
dx.
Доказательство. Пусть g(x) 0. Тогда
m g(x) f(x)g(x) M g(x), откуда
m
f(x)g(x)
dx
M
(1)
Если
g(x)
dx
= 0 , то из (1)
следует, что
f(x)g(x)
dx
= 0 и утверждение
теоремы справедливо для любого .
Если
g(x)
dx
0 , то поделив
выражения в (1)
на
g(x)
dx
, получим
требуемое соотношение, выбрав в качестве
число
f(x)g(x)
dx
/
g(x)
dx
.
Теорема 3. Если f(x) – интегрируема на [a,b] и c [a,b], то f(x) – интегрируема на [a,c] и [c,b] и
f(x)
dx =
f(x)
dx +
f(x)
dx .
Доказательство.
Пусть 1
- разбиение
[a,c].
Дополним это разбиение до разбиения
всего отрезка
так, чтобы характеристика разбиения не
изменилась
()
= (1)
. В этом
случае S(f,1)
–s(f,1)
S(f,)-s(f,)
, откуда
следует
интегрируемость на отрезке
[a,c].
Аналогично
доказывается интегрируемость на отрезке
[c,b]
. Если
существование интегралов доказано, то
для доказательства требуемого равенства
следует выбрать стандартные
последовательности интегральных сумм
(
f,
,m),
(
f,
,m)
для [a,c]
и [c,b]
и их объединение
m
=
+
.Для таких
сумм получим
(
f,m,m)
= (
f,
,m)
+ (
f,
,m).
Переходя к пределу при m получим требуемое соотношение.
Следствие. Для любых a, b, c справедливо равенство
f(x)
dx =
f(x)
dx +
f(x)
dx ,
если указанные интегралы существуют.
Докажем это , например, для случая c < a < b.
f(x)
dx
=
f(x)
dx
+
f(x)
dx
или
f(x)
dx
= -
f(x)
dx
+
f(x)
dx
=
f(x)
dx
+
f(x)
dx.
В качестве еще одного следствия можно получить следующую теорему
Теорема
(Непрерывность интеграла как функции
верхнего предела). Если f
интегрируема на [a,b],
то функция F(x)
=
dt
непрерывна на [a,b].
Доказательство.
|F(x+x)
– F(x)|
= |
dt|
M
|x|.
Теорема 4. Если g(x) – монотонна на [a,b], f(x) – интегрируема, то :
f(x)g(x)
dx = g(a)
f(x)
dx + g(b)
f(x)
dx .
Доказательство
(Для случая
,f(x)0).
Вначале отметим, что справедливы следующие утверждения
Лемма 1. Любую точку отрезка [A, B] можно единственным образом представить в виде =A+B, где 0, 0, + = 1.
Действительно,
если положить
,
то
и0,
0,
+
= 1. Наоборот,
если =A+B=A+(1-)B,
то B
- =(B
- A)
и
,
.
Числа , , удовлетворяющие указанным условиям, называются барицентрическими координатами точки отрезка [A, B].
Лемма
2. Если f(x)
интегрируема на [a,
b]
,
,
то для любого
существует[a,
b]
такое, что числа
будут барицентрическими координатами
числа
.
По
лемме 1 будет =A+B,
где 0,
0,
+
= 1. Рассмотрим
функцию
.
Эта функция непрерывна и для нее(a)=0,
(b)=1.
По теореме о промежуточных значениях
непрерывной функции найдется [a,
b]
такое, что
()=
. Тогда
1-()=1
-
=
=
.
Что и требовалось доказать.
Замечание.
Можно было в качестве ()
взять функцию ()=
,()=
,(a)=1,
(b)=0.
В этом случае
f(x)g(x)
dx = g(a)
f(x)
dx + g(b)
f(x)
dx .
Сначала докажем теорему при дополнительном условии g(x) – монотонно возрастает. Из неравенств g(a)f(x) g(x)f(x) g(b)f(x) следует
,
откуда получим
.
Таким
образом,
=
[g(a),g(b)].
По лемме 2
найдется
такое, что
=
или
f(x)g(x)
dx = g(a)
f(x)
dx + g(b)
f(x)
dx
Если функция монотонно убывает, то следует рассмотреть функцию G(x) = -g(x) , которая будет монотонно возрастать и для нее утверждение доказано,
-
f(x)g(x)
dx = -g(a)
f(x)
dx - g(b)
f(x)
dx
откуда будет следовать утверждение и для функции g(x) .
Теорема 5. (Неравенство Коши-Буняковского) Если f(x), g(x) – интегрируемы на [a,b], то
f
2(x)
dx
g
2(x)
dx
или
.
Доказательство. В силу свойств интеграла будут интегрируемы (f+g)2, f 2, g2, тогда
0
(f+g)2
dx=
f2dx
+ 2
f
g dx +2
g2
dx =A2+2B+C.
Дискриминант
будет
0 откуда и
следует неравенство Коши-Буняковского
.