2.Критерий интегрируемости. Теорема Дарбу

Теорема Дарбу. Для того, чтобы ограниченная функция была интегрируемой на отрезке [a,b], необходимо и достаточно, чтобы разность сумм Дарбу

S(f,) - s(f,)  0 при ()0.

Т. е.

  >0>0,()<: S(f,) - s(f,)<.

Доказательство. Необходимость. Пусть f(x) интегрируема и J=.Возьмем какое-либо >0 для него >0 такое, что при ()< будет выполнено неравенство

|J -(f,,)|</3 ( независимо от выбора  ).

так как s(f,) = ( f,,), S(f,) = ( f,,), то

|S(f,) - J|<  /3, |J - s(f,)|<  /3

тогда

|S(f,) - s(f,)|=|S(f,) - J + J - s(f,)|  |S(f,) - J| +| J - s(f,)|  < .

Достаточность. Разность сумм Дарбу может быть сделана сколь угодно малой выбором достаточно мелкого разбиения. Как уже отмечалось, нижний и верхний интегралы существуют и

s(f,)    S(f,), = sup s(f,), = inf S(f,).

Так как (S(f,) - s(f,)) = 0 , то =.Положим J = =, при этом |(f,,) – J |  S(f,) - s(f,). Откуда и следует требуемое утверждение.

§4. Классы интегрируемых функций

1.Непрерывные функции

Теорема 1. Всякая непрерывная на отрезки [a,b] функция интегрируема на этом отрезке.

Доказательство. Как ранее отмечалось

S(f,) - s(f,) =,_k (f) = M_k – m_k .

По теореме Кантора для   > 0   > 0 такое, что при ()< будет выполнено неравенство _k(f)< ).Тогда

S(f,) - s(f,) =<= .

2.Монотонные ограниченные функции и некоторые другие классы интегрируемых функций

Теоремы 2. Любая монотонная ограниченная функция является интегрируемой функцией.

Доказательство. Пусть f монотонно возрастает, тогда

S(f,) - s(f,) == =<()=()(f(b) – f(a)),

откуда и следует интегрируемость (по теореме Дарбу).

Теорема 3. Любая ограниченная функция, имеющая конечное число разрывов интегрируема.

Доказательство. Пусть функция f(x) ограничена на [a,b], |f(x)|  M и имеет p точек разрыва {u_k} . Для упрощения доказательства будем предполагать, что все точки разрыва внутренние. Пусть  > 0 , рассмотрим непересекающиеся окрестности точек разрыва {( u_k - , u_k + )} с суммарной длиной 2 p <  , будем также предполагать, что все эти окрестности лежат в интервале (a,b). Функция f равномерно непрерывна на дополнении D = [a,b]\, поэтому существует  > 0 такое, что |f(x)-f(x)|< при | x - x |<  , x, x  D . Возьмем  с ()<min(,). В этом случае _k(f) <  . Представим S – s в виде трех сумм

S – s =  _k(f)  x_k = +  +  .

Через  обозначена часть суммы  _k(f)  x_k , для которой все [x_k,x_k+1]D. Для нее будет выполнено неравенство  =  _k(f)  x_k     x_k = (b – a) 

Через  - обозначена часть суммы  _k(f)  x_k , для которой [x_k,x_k+1] . Для этой суммы    2M  x_k = 2M   x_k < 2M .

Через  обозначена часть суммы  _k(f)  x_k , содержащая остальные слагаемые. Для нее

   2M  x_k = 2M   x_k < 2M 2p . Таким образом, для разбиения выбранной мелкости справедливо неравенство

S – s < (b – a +2M +4Mp ) . По теореме Дарбу функция интегрируема.

Теорема 4. Ограниченная, имеющая счетное число разрывов функция интегрируема.

Без доказательства.