2.Достаточные условия для экстремума
Лемма. Единичная сфера S=S1(O)={xRn:(x,O)=1} (O=(0,0,…,0)) является замкнутым ограниченным множеством.
Доказательство. Ограниченность очевидна. Замкнутость следует из того, что функция f(x) = (x0,x) является непрерывной функцией. Действительно, пусть последовательность {xk} принадлежит единичной сфере (x0,xk)=1 и xky. Тогда, переходя к пределу в равенстве (x0,xk)=1 получим (x0, y)=1, т. е. y S1 .
Рассмотрим квадратичную форму
q()=
(1),
где akj(t)=
,
xt
= x0
+ t
x,
x
= x
– x0
, k
= xk
.
Теорема. Если функция f(x) определена в окрестности стационарной точки x0 , имеет там непрерывные частные производные второго порядка, тогда если квадратичная форма (1) в точке x0
положительно определена, то x0 строгий локальный минимум,
отрицательно определена, то x0 строгий локальный максимум,
знакопеременна, то x0 не является экстремумом
В остальных случаях ничего определенного сказать нельзя.
Доказательство.
Для двух
точек x0,
x
положим k
=
,
тогда=(1,…,n)S1(O)
и
f(x) –
f(x0)
=
d2f(x)=
=
=
=
.
В случае 1)
q()=
>r>0,
r
=
q()
и поэтому
величина f(x)
– f(x0)
в достаточно
малой проколотой окрестности точки x0
будет
положительной. Аналогично в случае 2)
q()=
<s<0,
s
=
q().
В случае 3)
,
: q(
)> 0, q(
)< 0 . Обозначим
x=
x0
+
,
x=
x0
+
. Рассмотрим
две прямые, выходящие из точки x0
по направлениям
и
: xt
= x0
+ t
, yt
= x0
+ t
, tx
= t
, tx
= t
, Координаты
приращений будут равны (xt
– x0)k=txk
, (yt
– x0)k=txk
и
(x0,xt)=t(x0,x),
(x0,yt)=t(x0,x)
. Тогда
f(xt)
– f(x0)
=
+
,
аналогично
f(yt)
– f(x0)
=
.
Это означает, что по направлению xt наблюдается минимум f(xt) – f(x0) > 0 в некоторой проколотой окрестности исходной точки, а в направлении yt будет выполнено противоположное неравенство f(yt) – f(x0) < 0, т.е. имеется максимум.
Пример 1. z = x2 + y2 – 12x + 16y на всей плоскости. dz = 2x dx + 2y dy – 12 dx + 16 dy = (2x – 12) dx +2 (y +8) dy. x = 6, y = -4 – стационарная точка. d 2z = 2 dx2 + 2 dy2 – положительно определена. Строгий локальный минимум.
Пример 2. z = sin x2 – arctg y2 , (0,0).
dz=
,
,
.
Стационарные
точки:
,k=0,1,2,….
=
.
В точке (0,0)
экстремума
нет. В точках
,k
= 2l,
l=0,1,2,…будет
максимум. В точках
,k
= 2l+1,
l=0,1,2,…экстремума
нет.
Пример 3. Найти sup, inf функции z = x2 –xy + y2, на множестве |x| + |y| 1.
Абсолютный минимум в стационарной точке, начале координат. Максимум равный 1 в вершинах квадрата.
Например, на стороне x+y=1, z = x2 –x(1-x) +(1 - x)2=3x2-3x+1
математический
анализ. 2 семестр. Логинов А.С. 2005 г.
loginov_1999@mail.ru