§3. Дифференцируемые отображения

1.Дифференцируемость. Производные отображения

Дано отображение y = f(x), x  Rⁿ , y  R^p . Это отображение называется непрерывным в точке x⁰ (будем предполагать, что x⁰ внутренняя точка области определения и y⁰=f(x⁰) ), если для любой окрестности точки U(y⁰) существует окрестность U(x⁰) такая, что x U(x⁰) f(x)  U(y⁰). Отображение непрерывное в каждой точке множества называется непрерывным на этом множестве. Можно показать, что непрерывное отображение переводит открытое множество в открытое множество. Обратное тоже верно.

Определение. Отображение y = f(x) из DRⁿ в D* R^p называется дифференцируемым в точке x⁰ , если в некоторой окрестности точки x⁰ справедливо равенство

f_i = +_i (x,x⁰), i=1,2,…,p, _i 0 при x x⁰ ,

.

Главная линейная часть

L(x,x) =

называется дифференциалом отображения f в точке x⁰ . Иногда L называется производным отображением.

Теорема (достаточные условия дифференцируемости отображения). Пусть отображение y = f(x) из DRⁿ в D*R^p определяется дифференцируемыми в точке x⁰ функциями

,

тогда f дифференцируема и .

Утверждение следует непосредственно из определения дифференцируемости.

2.Регулярные отображения

Определение. Отображение f называется регулярным, если оно взаимно однозначно и f , f ^–1  C¹ .

Теорема (о локальной обратимости непрерывно дифференцируемого отображения). Пусть задано отображение

,

определенное на D и x⁰ =  D внутренняя точка D. Если fC¹ в окрестности точки x⁰ и 0 в точке x⁰ , то существуют открытые множества U, V, x⁰ U, y⁰V, y⁰ = f(x⁰) такие, что f взаимно однозначно отображает U на, V. При этом отображение f ^-1 непрерывно дифференцируемо.

§4. Функциональная зависимость систем функций

1.Необходимые и достаточные условия зависимости функций

Определение. Пусть функции

определены и дифференцируемы в открытой области D. Одна из этих функций, например, f₁ называется функционально зависящей в области D от остальных, если существует дифференцируемая функция Ф :

f₁(x) = Ф(f₂(x),f₃(x),…,f_p(x)),  x  D.

Функции y₁,…,y_p называются функционально зависимыми в области D, если одна из них зависит в D от остальных. В противном случае система называется независимой.

Теорема 1 (необходимое условие зависимости функций). Пусть дана система функционально зависимых в области D функций

.

Тогда в любой точке D ранг rang< n .

Доказательство. Предположим для определенности, что

f_n(x) = Ф(f₁(x),…,f_n-1(x)),  x  D.

Тогда по правилу дифференцирования сложных функций

.

Эти равенства означают, что n –я строка матрицы Якоби является линейной комбинацией остальных строк.

Следствие 1. m=0 и система зависимая. Тогда якобиан =0 в области D.

Следствие 2 (достаточное условие функциональной независимости). Пусть rang=n в точке x⁰ , тогда система независима в D.

Теорема 2 ((достаточное условие функциональной зависимости). Если

rang r < n в любой точке области D, а в некоторой точке x⁰ ранг rang= r

0 . (2)

Тогда

1. все r функций являются независимыми в областиD,

2. существует окрестность точки x⁰, в которой любые из оставшихся функций зависят от выбранных r функций.