2.Неявные функции многих переменных

Определение. Неявная функция, заданная уравнением F(x₁,x₂,…,x_n,y)=0 (или кратко F(x,y)=0) определяется, как функция y=f(x)=f(x₁,x₂,…,x_n) при подстановке которой в уравнение, оно превращается в тождество на некотором множестве, т. е.

F(x₁,x₂,…,x_n, f(x₁,x₂,…,x_n))=0 , или кратко, F(x,f(x))=0 при xD.

Теорема 2. Пусть

1. F(x,y) имеет непрерывные частные производные первого порядка в окрестности U(M⁰) точки M⁰=(x⁰,y⁰)= , x⁰=

2. F(M⁰)=0,

3. .

Тогда существует окрестность U_(x⁰) и единственная функция, определенная в этой окрестности y = f(x), такая, что

 x U_(x⁰) : F(x,f(x))=0 и y⁰ = f(x⁰).

Эта функция дифференцируема в точке x⁰ и ее производные определяется по формуле

.

Доказательство. Для определенности будем считать, что .Пусть в U_(M⁰) выполнены условия теоремы и , положим  = /2. Тогда цилиндр B={(x,y):(x,x⁰) < ,|y - y⁰|<  } содержится в U_(M⁰) так как

(M,M⁰)=<.

Так как в этом цилиндре ,то функция F(x⁰,y) строго возрастает на

[y⁰ - , y⁰ + ]. В центре этого отрезка функция равна нулю, поэтому F(x⁰, y⁰ - ) < 0 , F(x⁰, y⁰ + ) > 0. Функции F(x, y⁰ - ) , F(x, y⁰ + ) непрерывны по x и поэтому сохраняют знак в окрестности точки x⁰ . таким образом, существует  <   x U_( x⁰) : F(x, y⁰ - ) < 0 , F(x, y⁰ + ) > 0 . Тогда для   U_( x⁰) функция F(,y) имеет на [y⁰ -  , y⁰ + ] единственный ноль ,F(,) = 0 (промежуточное значение строго монотонной функции). Функция f :  , действующая наU_( x⁰) является искомой. В силу единственности нуля f(x⁰) = y⁰. Построенная функция является функцией неявно заданной уравнение F(x,y)=0 в окрестности U_( x⁰). Докажем дифференцируемость этой функции. В окрестности точки M⁰ справедливо равенство

F=.

Если в этом равенстве положить y=f=f(x) – f(x⁰), где x= то F = 0 и все x_k=0 кроме одного при k=j

Откуда

.

Переходя к пределу при M M⁰ получим требуемое равенство.

Замечание. При выполнении условий теоремы построенная функция будет принадлежать классу C¹ в некоторой окрестности точки x⁰ .

Действительно, условия теоремы будут выполнены, если в качестве точки (x⁰,y⁰) взять любую точку (x, f(x)), x. Для таких точек будут выполнено равенство

,

где правая часть является непрерывной функцией.

3 Касательная к поверхности, заданной неявно

Рассмотрим поверхность заданную неявно уравнением

F(x, y, z) = 0.

Будем предполагать выполненными условия теоремы существования неявной функции z = f(x,y) в окрестности точки P⁰=(x⁰, y⁰) (,M⁰=(x⁰, y⁰, z⁰), z⁰=f(x⁰, y⁰)). Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M⁰, будет иметь вид

. (1)

С другой стороны, для неявно заданной функции

, .

Подставляя эти выражения в (1) получим

или

. (2)

Отсюда следует следующее правило для построения касательной плоскости к поверхности, заданной неявно.

Нужно взять дифференциал левой и правой части уравнения (1)

dF=0

и в полученном выражении частные производные вычислить в интересующей нас точке поверхности M⁰ , а дифференциалы dx, dy, dz нужно заменить на (x-x⁰), (y-y⁰), (z-z⁰) соответственно.

Замечание. Формула (2) будет справедлива и в случаях, когда уравнение (1) можно разрешить относительно y (в случае выполнения условия ) или относительно x (при выполнении условия ).