§2. Функции многих переменных

1.Предел функции

Определение. Пусть D – некоторое множество точек пространства Rⁿ. Если для xD по некоторому закону сопоставлено единственное число uR, то говорят, что задана функция, определенная на множестве D. При этом пишут

u=f(x)=f(x₁,x₂,…,x_n),

D называется областью определения функции f.

Функция осуществляет отображение множества D на некоторое множества из R¹.

В случае функции двух переменных z=f(x, y) , определенной на множестве D , можно определить понятие графика функции. Графиком называют геометрическое место точек (x, y, f(x, y)), (x, y)  D. Геометрически, график функции может представлять собой некоторую поверхность.

Для наглядного представления характера поведения этой поверхности бывает удобно пользоваться понятием линии уровня. Для заданной поверхности линией уровня z=z₀ называется “кривая” , заданная неявно z₀=f(x, y).

Определение. Пусть f определена на D Rⁿ, и x⁰ – предельная точка множества D. Число A называется пределом функции f при x x⁰ , если

>0>0xD :|f(x) - A|<.

Пишут .

Если предел существует, то он единственен.

Аналогично тому, как для функции одного переменного определяются пределы с участием символов . Окрестностью  называется множество U_r()={xRⁿ:(x,)>r}.

,

Примеры. ;N>0xD,0<(x,x⁰)<:|f(x)|>N.

;>0rxD,(x,)>r:|f(x)-A|<, =(0,0,…,0).

Определение предела по Гейне. . Для любой последовательности типа Гейне (xa) {x^k} выполнено .

В этом определении a может быть точкой или символом  , A –может быть числом или символами , +, -. Последовательность типа Гейне определяется, как последовательность, удовлетворяющая условиям:

1) x^k D 2) x^k  a 3) .

Можно показать, что определение по Гейне и по Коши эквивалентны.

2. Критерий Коши существования конечного предела

Для существования конечного предела необходимо и достаточно, чтобы

>0>0x,xD :|f(x) - f(x)|<.

Доказательство проводится так же, как и для функции одного переменного.

Необходимость. >0,/2 xD:|f(x) - A|</2. Для x,xD получим требуемое неравенство

|f(x) - f(x)|<|f(x) - A|+|f(x) - A|</2+/2=.

Достаточность. Пусть {x^k} последовательность типа Гейне. Тогда {f(x^k)}

будет удовлетворять условию Коши для последовательностей, поэтому существует некоторый предел . Докажем, что для любой другой последовательности типа Гейне{y^k} как в Гейне предел будет также равен B. Составим последовательность

Эта последовательность будет последовательностью типа Гейне и, как уже доказано, предел должен существовать. Тогда все частичные пределы должны совпадать, в частности,=.

3. Свойства пределов

Для пределов функций многих переменных имеют место те же свойства, что и для функции одного переменного: локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел, сохранение знака функции, имеющей не нулевой предел, свойства арифметических операций ( сложение, умножение, деление). Докажем, например, свойство для произведения пределов.

Если существуют конечные пределы ,, то будет существовать.

Доказательство проводится, используя определение предела по Гейне. Пусть {x^k} последовательность типа Гейне (x^k  x⁰ ) . Тогда ,. Откуда следует, что, поэтому .