3. Использование критерия хи-квадрат для сравнения показателей внутри одной выборки

Критерий хи-квадрат может быть применен и для выявления сходства или различия внутри одной, но численно достаточно большой выборки. В этом случае вычленяются показатели (а их может быть два и больше), по которым и осуществляется сравне­ние. Этот аспект применения критерия xи-квадрат сближает его с коэффициентом корреляции, который также находит степень свя­зи между двумя или большим числом признаков. Различие между этими двумя методами, прежде всего в том, что для подсчета ко­эффициента корреляции необходимо знать все величины сравни­ваемых признаков, а для использования критерия хи-квадрат важ­но знать только уровни (градации) сравниваемых признаков.

При сравнении показателей с помощью критерия хи-квадрат нулевая гипотеза звучит так: сравниваемые признаки не вли­яют друг на друга. В терминах корреляционных отношений: меж­ду признаками связи нет, корреляция не отличается от нуля.

Соответственно альтернативная гипотеза звучит следую­щим образом: сравниваемые признаки влияют друг на друга. В терминах корреляционных отношений: между признаками связь есть, корреляция значимо отличается от нуля.

В этих случаях применение критерия хи-квадрат основывает­ся на использовании так называемых многопольных таблиц или, как их еще называют, таблиц сопряженности, т.е. таких таблиц, эмпирические данные в которых представлены размерностью большей, чем 2 x 2.

В этом случае расчет эмпирического значения критерия хи-квадрат может осуществляться по следующим двум формулам:

где разность между эмпирическими и «теоретическими» ча­стотами;

есть вычисленная, или «теоретическая» частота.

где k - число строк многопольной таблицы

т - число столбцов многопольной таблицы

N - общее число значений (элементов) в многопольной таблице, оно всегда является произведением N = k · т

- элементы многопольной таблицы

C_i - суммарные значения по строкам многопольной таблицы

- суммарные значения по столбцам многопольной таблицы

3адача 7. Влияет ли уровень интеллекта на профессиональ­ные достижения?

Решение. (Первый способ решения по формуле 8.10). Для решения этой задачи 90 человек оценили по сте­пени их профессиональных достижений и по уровню интеллекта. При разбиении на уровни (градации признака) по обоим признакам было взято три уровня. Для показателя профессиональ­ных достижений были получены следующие час­тоты признака: 20 человек с высоким уровнем профессиональных достижений, 40 со средним и 30 с низким. Первая группа составляет 22,2% вы­борки, вторая - 44,4% и третья — 33,3% от всей выборки. При разбиении по уровню интеллекта было взято три равных по численности группы, в каждой по 30 человек: уровень интеллекта ниже среднего, средний и выше среднего. В процентах каждая группа составляет 33,3% от всей выборки. Все эмпирические данные (частоты) представле­ны ниже в таблице 8.14:

Для удобства каждая ячейка таблицы обозначена соответству­ющей латинской буквой: А, В, С и т.д. Таблица 8.14 устроена сле­дующим образом: в ячейку, обозначенную символом А, заносят­ся эмпирические частоты (или число) тех испытуемых, которые одновременно обладают следующей характеристикой: ниже среднего по уровню профессиональных достижений и ниже среднего по интеллекту. Таких испытуемых (эмпирических час­тот) оказалось 20. В ячейку, обозначаемую символом В, заносят­ся эмпирические частоты (или число) тех испытуемых, которые одновременно обладают характеристикой: средние по уровню профессиональных достижений и ниже среднего по интеллекту. Таких испытуемых (эмпирических частот) оказалось 5. В ячейку, обозначенную символом С, заносятся эмпирические частоты (или число) тех испытуемых, которые одновременно обладают характеристикой: выше среднего по уровню профессиональных достижений и ниже среднего по интеллекту. Таких испытуемых (эмпирических частот) оказалось также 5. Заметим, что 20 + 5 + 5 = 30, т.е. числу испытуемых, имеющих уровень интеллекта ниже среднего. Подобные «разбиения» были проделаны для каж­дой ячейки таблицы 8.14. Подчеркнем, что в круглых скобках в каждой ячейке таблицы представлены вычисленные для этой ячейки «теоретические» частоты.

Покажем, как для каждой ячейки таблицы 8.14 найти соот­ветствующую «теоретическую» частоту. Для каждого столбца таблицы подсчитываются так на­зываемые «частости» в процентах:

Полученные величины «частостей» дают возможность под­считать «теоретические» частоты для каждой ячейки таблицы 8.14. Они служат основой для подсчета «гипотетических» (а по сути теоретических) частот, т.е. таких частот, которые при за­данном соотношении экспериментальных данных должны были бы быть расположены в соответствующих ячейках таблицы 8.14. (Вспомним решение задачи 8.5).

Согласно этому положению «теоретическая» частота для ячейки А подсчитывается следующим образом. 30 человек имеют уровень интеллекта ниже среднего, поэтому 33,3% от этого чис­ла должны были бы попасть в группу с профессиональными до­стижениями ниже среднего уровня. Находим эту «гипотетичес­кую» величину так: .

Аналогично «теоретическая» частота для ячейки D считается следующим образом: 30 человек имеют средний уровень интел­лекта, поэтому 33,3% от этого числа должны были бы попасть в группу с профессиональными достижениями среднего уровня. На­ходим эту «гипотетическую» величину так: .

Аналогично «теоретическая» частота для ячейки G считается следующим образом: 30 человек имеют высокий уровень интел­лекта, поэтому 33,3% от этого числа должны были бы попасть в группу с профессиональными достижениями выше среднего уровня. Находим эту «гипотетическую» величину так: .

Рассмотрим, как производится подсчет для ячейки В: 30 че­ловек имеют низкий уровень интеллекта, поэтому 44,4% от это­го числа должны были бы попасть в группу с профессиональны­ми достижениями среднего уровня. Находим эту «гипотетичес­кую» величину так: .

Аналогично, производится подсчет для ячейки Е: 30 человек имеют средний уровень интеллекта, поэтому 44,4% от этого чис­ла должны были бы попасть в группу с профессиональными до­стижениями среднего уровня. Находим эту «гипотетическую» ве­личину так:

Аналогично, производится подсчет для ячейки Н: 30 человек имеют уровень интеллекта выше среднего, поэтому 44,4% от этого числа должны были бы попасть в группу с профессиональ­ными достижениями среднего уровня. Находим эту «гипотети­ческую» величину так:

Рассмотрим, наконец, как производится подсчет для ячейки С: 30 человек имеют низкий уровень интеллекта, поэтому 22,2% от этого числа должны были бы попасть в группу с профессио­нальными достижениями выше среднего уровня. Находим эту «гипотетическую» величину так:

Расчет «теоретических гипотетических» частот для оставших­ся ячеек проведите самостоятельно.

Проверим правильность расчета «теоретических» частот для всех столбцов таблицы 8.14: 10 + 10 + 10 = 30; 13,3 + 13,3 + 13,3 = 39,9 ≈ 40; 6,7 + 6,7 + 6,7 = 20,1 ≈ 20.

Теперь все готово для использования формулы (8.1).

Для проверки правильности расчета «теоретических» частот в случае сравнения двух эмпирических наблюдений (см. раздел 8.2) или для сравнения показателей внутри одной выборки мо­жет использоваться следующая формула (8.12):

Проверим по этой формуле правильность наших расчетов:

Число степеней свободы подсчитаем по знакомой формуле:v = (k - 1) · (с - 1) = (3 - 1) · (3 - 1) = 4, где k - число строк, а с - число столбцов и в соответствии с таблицей 12 Приложения 1 находим:

Полученные эмпирическая величина критерия хи-квадрат попала в зону значимости. Иными словами, следует принять гипотезу о том, что уровень интеллекта влияет на успешность профессиональной деятельности.

Решение. (Второй способ решения по формуле 8.11).

Подставим данные таблицы 8.14 в формулу (8.11) получим:

Как и следовало ожидать, эмпирическое значение xи-квадрат получено то же самое, что и при первом способе решения. Все дальнейшие операции уже проделаны выше при первом спосо­бе решения данной задачи, поэтому не будем их повторять. Бе­зусловно, что второй способ существенно проще первого, од­нако, при расчетах по формуле (8.11) можно легко допустить ошибки. Подчеркнем, что как первый, так и второй способы расчета эмпирического значения хи-квадрат позволяют работать с таблицами практически любой размерности: 3 х 4, 4 х 4, 5 х 3, 5 х 6 и т.п.

2.4. - критерий Колмогорова—Смирнова

Назначение критерия

Критерий предназначен для сопоставления двух распределений:

а) эмпирического с теоретическим, например, равномерным или нормальным;

б) одного эмпирического распределения с другим эмпирическим распределением.

Критерий позволяет найти точку, в которой сумма накопленных расхождений между двумя распределениями является наибольшей, и оценить достоверность этого расхождения.

Описание критерия

Если в методе мы сопоставляли частоты двух распределений отдельно по первому разряду, потом по сумме первого и второго разрядов, потом по сумме первого, второго и третьего разрядов и т.д. Таким образом, мы сопоставляем всякий раз накопленные к данному разряду частоты.

Если различия между двумя распределениями существенны, то в какой –то момент разность накопленных частот достигнет критического значения, и мы сможем признать различия статистически достоверными. В формулу критерия включается эта разность. Чем больше эмпирическое значение , тем более существенны различия.

Гипотезы

Различия между распределениями недостоверны (судя по точке максимального накопленного расхождения между ними).

: Различия между распределениями достоверны (судя по точке максимального накопленного расхождения между ними).

Для применения критерия Колмогорова—Смирнова необходи­мо соблюдать следующие условия:

1. Измерение может быть проведено шкале интервалов и отношений.

2. Выборки должны быть случайными и независимыми.

3. Желательно, чтобы суммарный объем двух выборок ≥ 50. С увеличением объема выборки точность критерия повышается.

4. Эмпирические данные должны допускать возможность упорядочения по возрастанию или убыванию какого-либо призна­ка и обязательно отражать какое-то его однонаправленное изменение. В том случае, если трудно соблюсти принцип упорядоченности признака, лучше использовать критерий хи-квадрат.

Этот критерий используется для решения тех же задач, что и критерий xи-квадрат. Иначе говоря, с его помощью можно срав­нивать эмпирическое распределение с теоретическим или два эмпирических распределения друг с другом. Однако если при применении хи-квадрат мы сопоставляем частоты двух распреде­лений, то в данном критерии сравниваются накопленные (куму­лятивные) частоты по каждому разряду (альтернативе). При этом если разность накопленных частот в двух распределениях оказы­вается большой, то различия между двумя распределениями яв­ляются существенными.

Задача 8.12. Предположим, что в эксперименте психологу не­обходимо использовать шестигранный игральный кубик с цифрами на гранях от 1 до 6. Для чисто­ты эксперимента необходимо получить «идеаль­ный» кубик, т.е. такой, чтобы при достаточно большом числе подбрасываний, каждая его грань выпадала бы примерно равное число раз. Задача состоит в выяснении того, будет ли данный ку­бик близок к идеальному?

Решение. Подбросим кубик 120 раз и сравним полученное эмпирическое распределение с теоретическим. Поскольку теоретическое распределение являет­ся равновероятным, то соответствующие теоре­тические частоты равны 20. Распределение эмпи­рических и теоретических частот представим со­вместно в таблице 8.15:

Для подсчета по критерию Колмогорова—Смирнова необхо­димо провести ряд преобразований с данными таблицы 8.15. Представим эти преобразования в таблице 8.16 и объясним их получение:

Символом FE в таблице 8.16 будем обозначать накопленные теоретические частоты. В таблице они получаются следующим об­разом: к первой теоретической частоте 20, добавляется вторая частота, также равная 20, получается число 20 + 20 = 40. Число 40 ставится на место второй частоты. Затем к числу 40 прибавляется следующая теоретическая частота, полученная величина 60 — ставится на место третьей теоретической частоты и так далее.

Символом FB в таблице 8.16 обозначаются накопленные эм­пирические частоты. Для их подсчета необходимо расположить эмпирические частоты по возрастанию: 15, 18, 18, 21, 23, 25 и затем по порядку сложить. Так, вначале стоит первая частота равная 15, к ней прибавляется вторая по величине частота и по­лученная сумма 15 + 18 = 33 ставится на место второй частоты, затем к 33 добавляется 18 (33 + 18 = 51), полученное число 51 ставится на место третьей частоты и т.д.

Символом |FE - FB| в таблице 8.16 обозначаются абсолютные величины разности между теоретической и эмпирической часто­той по каждому столбцу отдельно.

Эмпирическую величину этого критерия, которая обознача­ется как D_эмп получают используя формулу (8.13):

Для её получения среди чисел |FE - FB| находят максималь­ное число (в нашем случае оно равно 9) и делят его на объем выборки п. В нашем случае п = 120, поэтому

Для этого критерия таблица с критическими значениями дана в Приложении 1 под № 13. Из таблицы 13 Приложения 1 следует, однако, что в том случае, если число элементов выбор­ке больше 100, то величины критических значений вычисляются по формуле (8.14):

Иными словами, вместо привычных табличных значений вы­числяются величины D_кр подстановкой величины объема выбор­ки вместо символа п.

В нашем случае п = 120, поэтому D_кр для 0,05 равно

и D_кp для 0,01 равно , или в привычной форме записи:

В нашем случае D_эмп оказалось равным 0,075, что гораздо меньше 0,124, иначе говоря, эмпирическое значение критерия Колмогорова-Смирнова попало в зону незначимости. Таким об­разом, гипотеза Н₁ отклоняется и принимается гипотеза о том, что теоретическое и эмпирическое распределения не отли­чаются между собой. Следовательно, можно с уверенностью ут­верждать, что наш игральный кубик «безупречен».