Доказательство
Т.к. число различных
подмножеств, состоящих из
столбцов
матрицы
конечно, то конечно и число линейно
независимых систем, составленных из
векторов
(это число ограничено величиной
).
Множество подмножеств по столбцов (его мощность )
Подмнож., сост. из
линейно независимых
столбцов (все возм. базисы)
Одному базису соотв. одно базисное решение!!!!
ДБР
Базисные решения
Теперь покажем,
что одной линейно независимой системе
векторов
B
соответствует
единственное базисное решение, отсюда
будет следовать конечность множества
базисных решений.
Пусть вектора
составляют базис B
(т.е. они -
линейно независимы). И пусть этому
базису соответствует два различных
базисных решения
,
т.е.
,
,
Тогда справедливо:
.
Т.к. решения
и
различны, то, по крайней мере, один
коэффициент при
отличен от нуля, что противоречит условию
линейной независимости векторов
.
Итак, множество базисных решений конечно. . Ч.Т.Д.
.
Пусть элементы матрицы А и вектора b и являются целыми числами (что не ограничивает общности задачи).
Теорема:
Пусть
-
базисное решение. Тогда
,
где
и
Доказательство:
Самостоятельно № 10 доказать теорему