10. Функцыянальны і алгебраічны погляд на паліномы.

АЗН: Няхай дадзены паліном і дадзены элемент тады элемент мы будзем наз. значэннем палінома пры .

СЦВ: Калі паліном , то і адпаведныя адлюстраванні роўныя .

►Няхай ,

.

Т. чн. мы атрымалі, што ◄

Прыклад: . . . Т. чн. Прыклад паказ,калi палiномы роуныя у функц. сэнсе, то з гэтага не вынекае, што яны роуныя у алгебр. сэнсе.

Т:: Калі К - бясконцае кальцо без дзельнікаў 0, то з таго, што .

►Няхай

– розныя элементы з кальца К(з таго, што кальцо К бясконцае.)

Разгледзім сістэму (*) .Матрыца сістэмы (*) = (т. я. кальцо без дзельнікаў 0). Паколькі дэтэрмінант матрыцы (*) , то гэта сістэма мае адзінае рашэнне, паколькі сістэма (*) - аднародная, то яна мае толькі нулявое рашэнне. - рашэнне сістэмы (*) ◄

30. Паліномы ад некалькіх літар

АЗН. Няхай К - абсяг цэласнасці , х– сімвал, які не належаць К, у – сімвал, які не належаць К[х], тады кальцо паліномаў ад К[х][у] = К[х,у] (т.е. кальцо паліномаў ад літары у з каэф. К[х]).

CЦВ:

1.Усялякі паліном з К[х,у] – сумма адносна выгляду

2. Кальцо К[х] – падкальцо кальца К[х,у]

3. Паліном ху=ух К[х,у] = К[у,х] – супадаюць!

АЗН. Кальцом палінома ад n- літар мы будзем наз. кольцы К[x₁ ,x₂ ,… ,x_n] = К[x₁]… [К x_n]

Уласцівасці:

1) Калi кольца K – гэта кольца без дзельнiкау нуля, то кольца – без дзельнiкау нуля.

2) Усялякі не нулявы элемент кольца К[x₁,x₂,…,x_n] – гэта сумма аднаскладау выгляду .

3)

4) Паліном з’яўл. нулявым паліномам т. і т. т. к. усе яго аднасклады нулявыя.

5) Два паліномы з мноства роўныя, калі іх адпаведныя аднасклады роўныя (пасля прывядзення падобных).

АЗН. Ступенню аднасклада мы будзем наз. . Ступенню ненулявога палінома наз. найбольшае са ступеняў яго не нулявога аднасклада (пасля прывядзення падобных). Ступень нулявога палінома =

АЗН. Паліном наз. аднародным паліномам ступені m, калі ен не нулявы і ўсе яго аднасклады маюць ступень m.

CЦВ: Усялякі паліном з кальца можна выявіць у выглядзе , дзе - аднародныя паліномы.

►Гэта відавочна, т. як у якасці выбір. паліном, які змящае ўсе аднасклады аднолькавай ступені.◄

CЦВ: Няхай , тады deg fg= deg f+deg g.

► Можна даказаць, толькi для аднаскладу:

◄

31. Лексікаграфі чнае ўпарадкаванне паліномаў

АЗН. Няхай и - два непадобныя ненулявыя аднасклады. Будзем гаварыць, што аднасклад больш высокі за аднасклад β і пазначаць , калі . Будзем гаварыць, што падобныя аднасклады маюць падобную велічыню (аднолькавую)

Прыклад:

СЦВ: Дачыненне “больш высокі за” з’яўл. дачыненнем лінейнага парадку на мностве , г.зн. што яно рэфлексіўнае, антысімметрычнае, транзітыўнае і два непадобныя ненулявыя аднасклады можна параўнаць.

►1. Рэфлексіўнасць ; 2. Антысімметрычнасць ( ) α падобны β; 3. Транзітыўнасць ( ) ; 4. Два непадобныя ненулявыя аднасклады можна параўнаць. Калі аднасклады непадобныя, тады есць літары, каторыя прысутнічаюць у гэтых аднаскладах у розных ступенях.◄

АЗН. Упарадкаванне паліномаў, пры каторым больш высокі аднасклад стаіць перад меньш высокім аднаскладам, наз. лексікаграфічным ўпарадкаваннем. Аднасклад палінома больш высокі за астатнія наз. найвышэйшым аднаскладам.

СЦВ: Няхай α больш высокi за аднасклад β, то .

►Няхай ;

₀ ◄