4. Дачыненне падзельнасці паліномаў: азначэнне і уласцівасці.
АЗН:
Няхай
дадзены K[x],
f(x),
g(x)
,
без дзельнікаў 0-ля. Будзем гаварыць,
што паліном
Прыклад: а) f(x)=x+1, g(x)=2x+2
1)
f(x), g(x)
:
2)
f(x), g(x)
:
т.к. 1/2
б)
f(x)=
-1,
g(x)= x+1
ад
проц.
s(x),
g(x)=f(x)/r(x)
s(x)=r(x) ?!
f(x)
h(x)
f(x)
h(x) і
Калі
пры гэтым старшыя каэф. паліномаў
супадаюць, то
.
1)
.
–
абарач. эл-ты з К.
Абарачальнымі
элементамі ў кольцы K[x]
з’яўл. абарач. эл-ты кальца К і толькі яны.
Абарачальнымі
элементамі ў кольцы K[x].
Такім
чынам мы паказ., што калі f(x)
– абарачальны
ў
,
то ён абарачальны ў К.
Наадварот:
усякі абарачальны элемент з кольца К
можна разглядаць як паліном 0-й ступені
і тады ён будзе абарачальны ў
5. Дзяленне паліномаў з астачай.
К – кольца без дзельнікаў 0-ля.
АЗН:
Дзяленне з астачай палінома
на
,
наз. уявленне палінома
у вызлядзе
,
дзе
і
deg
deg
Прыклад:
;
– гэта
не дзяленне з астачай, т.як
,
але ў
– гэта
дзяленне з астачай
.
Т:
Няхай
– поле,
тады дзяленне з астачай паліномаў
на
,
магчыма і
адназначна.
Прыклад:
.
►
1) n<m f(x)=g(x)0+f(x)
2)
Калі мы атрымаем, што
,
то гэта будзе астача пры дзяленні f(x)
на
g(x),
калі не так, то бедзе
Калі deg
то гэта будзе астача пры дзял. f(x)
на
g(x),
а
калі
не
то паўтарыць аналаг. прац. яшчэ раз. Гэты
прац. канечны таму, што на кожным шагу
мы памяньшаем ст. пал.
b)
(1)-(2):
Але
бачым, што
,
тады
◄
6. Над паліномаў: азначэнне і ўласцівасці.
АЗН:
Найбольшым агульным дзельнікам f(x)
і g(x)
наз. такі іх агульны дзельнік d(x),
які дзел. на ўсякі іншы агульны дзельнік
гэтых паліномаў:
2 розных НАД паліномаў адрозніваюцца толькі не 0-вым множнікам з Р.
h(x)=
Калі
1)
f(x)=
2)
2)
7. Алгарытм Эўкліда ў кольцы паліномаў.
АЗН: Найбольшым агульным дзельнікам f(x) і g(x) наз. такі іх агульны дзельнік d(x), які дзел. на ўсякі іншы агульны дзельнік гэтых паліномаў:
…
Т:
Няхай
і
гэта паліномы з кольца
,
,
тады апошняя ненулявая астача ў
паслядоўнасці Эўкліда для паліномаў
і
з’яўл. НАД для гэтых паліномаў.
►Д-жам,
што
агульны дзейнік паліномаў
і
.
Знізу ўверх па пасл. Эўкліда
…
Т. чн. агульны дзейнік паліномаў і .
Д-жам,
што
– НАД,
агульны
дзейнік паліномаў
і
.
Зверху ўніз па пасл. Эўкліда
…
◄
8. Лінейнае выяўленне над паліномаў.
…
Т:
Няхай
,
тады
.
►Разгл. пасл. Эўкліда для і .
лін.
выяўл. праз
і
лін.
выяўл. праз
і
…
лін.
выяўл. праз
і
лін. выяўл. праз і
лін. выяўл. праз і
◄
9. Узаемна простыя паліномы: азначэнне і ўласцівасці.
АЗН: Паліномы f(x) і g(x) наз. узаемнапростымі, калі НАД(f(x), g(x))=1
Прыклад: f(x)=х-1, і g(x)=х+1
Крыт.
уз-й пр-ці:
Паліномы f(x)
і g(x)
узаемнапростыя т. і т.т., калі
У гэты бок крытэрый вынікае з тэарэмы аб агульным дзельніку палінома.
d(x)=НАД(f(x),g(x)),
1=
(
)
.
Паколькі
НАД паліномаў вызначаецца з дакладнасцю
да не 0-га мн., то паліномы f(x)
і g(x)
узаемнапростыя.
Няхай НАД(f(x),h(x))=1, НАД(f(x),g(x))=1 НАД(f(x),h(x), g(x))=1
НАД(f(x),h(x),
g(x))=1
Няхай
НАД(f(x),g(x))=1
,
u(x)f(x)+v(x)g(x)=1,
u(x)f(x)h(x)+v(x)g(x)h(x)=h(x),
u(x)f(x)h(x)
,
v(x)g(x)h(x)
h(x)
f(x)
НАД
(f(x), g(x))=1; h(x)
f(x)
i h(x)
g(x)
, u(x)f(x)+v(x)g(x)=1, u(x)f(x)h(x)+v(x)g(x)h(x)=h(x)