40. Вывод дифференциального уравнения Лейбензона для неустановившейся изотермической фильтрации газа.

При выводе дифференциального уравнения Лейбензона для газа предполагалось, что коэффициенты пористости и проницаемости не изменяются с давлением (т.е. пласт недеформируем), вязкость газа также не зависит от давления (газ совершенный)

Идеальный газ: => при изотермических условиях:

(1)

Уравнение неразрывности для неустановившейся фильтрации сжимаемого флюида:

(2)

Продифференцируем выражение (1) по координатам 2 раза:

, , (3)

(4)

Подставим (3), (4) во (2):

дифференциальное уравнение Лейбензона для фильтрации газа.

Уравнение Лейбензона можно записать по другому, умножив правую и левую части на давление р:

Зная, что , получим: .

41. Линеаризация уравнения Лейбензона.

Дифференциальное уравнение Лейбензона для фильтрации газа.

(*)

Если заменить нелинейное дифференциальное уравнение (*) линейным, т.е. линеаризовать его, то оно упростится – для линейного уравнения существуют точные аналитические решения. Эти решения линеаризованного уравнения будут приближенными для нелинейного.

Если рассматривается плоскорадиальный приток к скважине, то воронка депрессии очень крутая, и в большей части пласта давление мало отличается от контурного. На этом основании Лейбензон предложил заменить переменное значение р в пьезометрическом коэффициенте на постоянное давление р_К.

(**) - является уравнением пьезопроводности относительно р².

Такой способ линеаризации, когда переменный коэффициент в уравнении (**) при различных значениях давления принимается константой, называется линеаризацией по Лейбензону.

42. Основное решение линеаризованного уравнения Лейбензона.

Используем линеаризованное уравнение Лейбензона для решения конкретной задачи о притоке газа в скважину бесконечно малого радиуса.

Для плоско-радиальной фильтрации газа:

, где - оператор Лапласа в полярных координатах относительно квадрата давления для плоско-радиального движения.

Начальное условие: при t =0

Граничное условие: при r = ∞

Массовый расход:

,

Условие на стенке газовой скважины бесконечно малого радиуса: при r = 0.

Упругая жидкость	Совершенный газ
при t = 0 при r = ∞ при r = 0	при t = 0 при r = ∞ при r = 0

Из приведенных данных видно, что во все отношения для совершенного газа давление входит в квадрате, в то время как для упругой жидкости – в первой степени. Коэффициент пьезопроводности заменяется на для газа, коэффициент - на . В остальном все соотношения аналогичны.

Основное решение линеаризованного уравнения Лейбензона: