48. Обобщенный закон Дарси для двухфазной фильтрации.

Рассмотрим процесс вытеснения, происходящий в прямолинейном тонком горизонтальном образце, представленном однородной и изотропной пористой средой, т.е. его пористость и проницаемость постоянны. Давление в водяной и нефтяной фазах считаем одинаковым в силу пренебрежения капиллярным давлением, обе фазы несжимаемы, температура постоянна.

Закон фильтрации каждой фазы:

(*)

- относительные фазовые проницаемости. S = S_B – водонасыщенность

Вода втекает: , и вытекает:

Изменение массы воды в объеме ΔV за время Δt равно: (1), где

С другой стороны это изменение массы должно быть сбалансировано за счет изменения во времени водонасыщенности в поровом объеме mΔV:

(2)

Приравняем (1), (2) и разделим на : или (3).

Аналогично выводится уравнение сохранения массы нефти: или (4)

Сложим (3) и (4): => или (**)

Эти равенства показывают, что суммарная скорость двухфазного потока не зависит от координаты х, т.е. является либо постоянной величиной, либо известной функцией времени.

Поделим уравнения (*) друг на друга:

, где

Применив правило производных пропорций и используя (**), получим:

. Обозначим =>

и

f(s) – функция распределения потоков фаз (функция Баклея-Леверетта).

49. Математическая модель Баклея-Леверетта.

Закон фильтрации каждой фазы:

(*)

Поделим уравнения (*) друг на друга:

, где

Применив правило производных пропорций и используя (**), получим:

. Обозначим

f(s) – функция распределения потоков фаз (функция Баклея-Леверетта).

и

Подставим в , получим:

- уравнение Баклея-Леверетта.

50. Функция распределения потоков Баклея-Леверетта.

См. 49

51. Решение уравнения Баклея-Леверетта.

- уравнение Баклея-Леверетта.

В процессе нагнетания воды в пласт ее насыщенность будет меняться со временем вдоль направления движения х.

Рассмотрим на плоскости такие линии, вдоль которых насыщенность принимает постоянные значения:

=> =>

Где х₀ – значения координат с начальной водонасыщенностью s₀.

52. Практическое применение решения уравнения Баклея-Леверетта. Определение фронтальной насыщенности.

- уравнение Баклея-Леверетта.

- решение уравнения Баклея-Леверетта.

Фронт вытеснения Х_С (скачок):

S_С – фронтальная насыщенность (при ).

(*)

Для простоты зададим относительные фазовые проницаемости в виде:

=>

Подставим в (*) при s = s_C, s₀ = 0:

=>