Решения Демидовича / решения демидовича

№ 86 Задание: Говорят, что последовательность x_n (n=1,2,...) имеет ограниченное изменение, если существует число С такое, что |x₂ - x₁| + |x₃ - x₂| + ... + |x_n - x_n-1| < C (n = 2,3,...). Доказать, что последовательность с ограниченным изменением сходится. Построить пример сходящейся последовательности, не имеющей ограниченного изменения. Решение: Пусть y_n = |x₂ - x₁| + |x₃ - x₂| + ... + |x_n - x_n-1| (n=2,3,...) и y₁ = 0. Т. к. последовательность y_n не убывает (сумма неотрицательных чисел) и ограничена сверху (числом С), она имеет предел, а значит для неё выполняется критерий Коши: Запишем теперь критерий Коши для исходной последовательности и докажем, что он также выполняется (далее, не уменьшая общности, будем считать, что k < n, a < b): Заметим теперь, что |y_n - y_k| = |x_k+1 - x_k| + |x_k+2 - x_k+1| + ... + |x_n - x_n-1|, |x_a - x_b| = |x_a - x_a+1+x_a+1 - x_a+2+x_a+2 - ... - x_b-1+x_b-1 - x_b| < < |x_a - x_a+1| + |x_a+1 - x_a+2| + ... + |x_b-1 - x_b| = |y_b - y_a|. Значит, критерий Коши выполняется и для x_n: Таким образом, исходная последовательность сходится. Приведем теперь пример сходящейся последовательности, не имеющей ограниченного изменения. Такой последовательностью будет, например, x_n = sgn cos (pi · x) · ¹/_n. (напомните мне это доказать)

№ 93 Задание: Доказать, что сходящаяся числовая последовательность ограничена. Решение: Запишем определение сходящейся последовательности. Если последовательность x_n сходится к А, то Пусть е = 1, а соответствующее ему N = N₀. Тогда исходную последовательность можно разбить на два множества: конечное множество С, состоящее из первых N₀ членов последовательности, и счётное множество Е из всех остальных членов последовательности. Очевидно, что все члены множества Е лежат в интервале (А - 1, А + 1), а среди чисел из множества С можно выбрать минимальное (Cmin) и максимальное (Cmax) (т.к. множество С конечно). Если теперь положить Xmin = min(A - 1, Cmin), Xmax = max(A + 1, Cmax), то все члены последовательности будут лежать на отрезке [Xmin, Xmax]. Таким образом, исходная последовательность ограничена.

№ 210 Задание: Пусть f_n(x) = f(f(f(...f(x)))) (n раз). Найти f_n(x), если Решение: Найдём сначала f(f(x)): Логично предположить, что Докажем это методом математической индукции. Мы знаем, что формула верна для n=2. Пусть она верна для n. Покажем, что тогда она верна и для n+1: Формула верна. Итак,

№ 213.1 Задание: Найти f(x) если f(^x/_x+1) = x². Решение: Преобразуем исходное выражение: Отсюда видно, что

№ 411 Задание: Найти значение выражений: a) б) Решение: a) б)

№ 412 Задание: Найти предел: Решение:

№ 439 Задание: Найти предел: Решение:

№ 475 Задание: Вычислить предел: Решение:

№ 477 Задание: Вычислить предел: Решение:

№ 479 Задание: Вычислить предел: Решение:

№ 506 Задание: Вычислить предел: а) б) в) Решение: а) б) в)

№ 542 Задание: Вычислить предел: Решение:

Начало формы

Конец формы

№ 545.2 Задание: Вычислить предел: Решение:

№ 557 Задание: Вычислить предел: Решение:

№ 561 Задание: Вычислить предел: а) б) Решение: а) б)

№ 571 Задание: Вычислить предел: Решение:

№ 582 Задание: Вычислить предел: Решение:

№ 887 Задание: Вычислить производную функции: Решение:

№ 888 Задание: Вычислить производную функции: y = ln ln² ln³ x Решение:

№ 889 Задание: Вычислить производную функции: Решение:

№ 886 Задание: Вычислить y', если y=lg³x². Решение: y' = 3 (lg²x²) · (lg x²)' = 3 (lg²x²) · (^{lg e}/_x² · 2x) = ⁶/_x lg e · lg²x²

№ 895 Задание: Вычислить производную функции: Решение:

№ 896 Задание: Вычислить производную функции: Решение: См. также №895

№ 904 Задание: Вычислить производную функции: Решение:

№ 907 Задание: Вычислить производную функции: Решение:

№ 961 Задание: Вычислить производную функции: Решение:

№ 986 Задание: Вычислить производные, если f(u) - дифференцируемая функция. а) y = f(x²) б) y = f(sin²x)+f(cos²x) в) y = f(e^x) · e^f(x) г) y = f(f(f(x))) Решение: а) y' = f'(x²) · (x²)' = f'(x²) · 2x б) y' = f'(sin²x) · (sin²x)' + f'(cos²x) · (cos²x)' = = f'(sin²x) · 2 · sin x · cos x - f'(cos²x) · 2 · cos x · sin x = sin 2x · (f'(sin²x) - f'(cos²x)) в) y' = f'(e^x) · e^x · e^f(x) + f(e^x) · e^f(x) · f'(x) = e^f(x) · [f'(e^x) · e^x + f'(x) · f(e^x)] г) y' = f'(f(f(x)) · (f(f(x)))' = f'(f(f(x))) · f'(f(x)) · f'(x)

№ 986.1 Задание: Найти f'(0) если f(x) = x (x-1)(x-2)...(x-1000). Решение: Очевидно, что если раскрыть все скобки, f(x) будет представлять собой полином степени 1001, т.е. f(x) = a₀x¹⁰⁰¹ + a₁x¹⁰⁰⁰ + ... + a₁₀₀₀x, где a_i - некие коэффициенты. Возьмём производную: f'(x) = 1001 · a₀x¹⁰⁰⁰ + ... + 2 · a₉₉₉x + a₁₀₀₀. При x=0 все члены, кроме последнего, обратятся в 0. Таким образом, f'(0) = a₁₀₀₀. Из исходной записи функции видно, что a₁₀₀₀ = -1 · -2 · -3 · ... · -1000 = 1000!. Таким образом, f'(0) = 1000! .

№ 1252 Задание: Объяснить, почему не верна формула Коши для функций f(x) = x² и g(x) = x³ на сегменте [-1,1]. Решение: Для того, чтобы формула Коши была справедлива, должны выполняться четыре условия: 1. f(x) и g(x) определены и непрерывны на сегменте [a,b] 2. f(x) и g(x) имеют конечные производные на интервале (a,b) 3. f'(x) и g'(x) не обращаются одновременно в 0 на интервале (a,b) 4. g(a) не равно g(b) Как мы можем видеть, условие 3 нарушается в точке x = 0 - обе производные обращаются в 0. Поэтому формула Коши не верна для данного случая.

№ 1674 Задание: Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения вычислить интеграл: Решение:

№ 2552 Задание: Доказать непосредственно сходимость ряда и найти его сумму: Решение:

№ 2757 Задание: Исследовать последовательность на равномерную сходимость в указанном промежутке: f_n(x)=e^n(x-1); 0 < x < 1 Решение: Запишем определение равномерной сходимости по Гейне: и его отрицание: Далее рассмотрим исходную последовательность: т. е. f(x) = 0. r_n(x) = |f_n(x) - f(x)| = e^n(x-1) При x_n = 1 - ¹/_n, r_n(x) = e^-1, а значит Т. е. последовательность не обладает равномерной сходимостью на указанном интервале.

№ 3843 Задание: С помощью эйлеровых интегралов вычислить интеграл: Решение:

№ 3844 Задание: С помощью эйлеровых интегралов вычислить интеграл: Решение: См. №3843

№ 4115 Задание: Вычислить объём тела, ограниченного поверхностью, заданной формулой: Решение: Перейдём к обобщённым сферическим координатам: Т. к. данное тело очевидно симметрично относительно всех координатных плоскостей, вычислим 1/8 его объёма и умножим на 8: Сделаем замену: Получаем:

№ 4231 Задание: Найти длину дуги пространственной кривой (параметры положительны): x = 3t, y = 3t², z = 2t³ от O(0,0,0) до A(3,3,2). Решение: Очевидно, что в (·)О t=0, а в (·)А t=1.