23.Таблица производных.

24.Производные высших порядков.

Пусть y = f(x) является дифференцируемой функцией. Тогда производная также представляет собой функцию от x. Если она является дифференцируемой функцией, то мы можем найти вторую производную функции f, которая обозначается в виде

Аналогично, если f '' существует и дифференцируема, мы можем вычислить третью производную функции f:

Производные более высокого порядка (если они существуют), определяются как

Для нахождения производных высшего порядка можно использовать следующие формулы:

В частности, для производной второго и третьего порядка формула Лейбница принимает вид

25.Определение и геометрический смысл дифференциала.

Дифференциал (от лат. differentia — разность, различие) в математике, главная линейная часть приращения функции. Если функция y = f (x) одного переменного х имеет при х = х0 производную, то приращение

Dy = f (x0 + Dx) - f (x0)

функции f (x) можно представить в виде

Dy = f' (x0) Dx + R,

где член R бесконечно мал по сравнению с Dх. Первый член

dy = f' (x0) Dх

в этом разложении и называется дифференциалом функции f (x) в точке x0. Из этой формулы видно, что дифференциал dy линейно зависит от приращения независимого переменного Dx, а равенство

Dy = dy + R

показывает, в каком смысле Д. dy является главной частью приращения Dy.

Геометрический смысл.

Геометрический смысл дифференциала очень просто устанавливается если вспомнить геометрический смысл производной: производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной в данной точке х0. Поэтому, если мы начнем записывать уравнение касательной прямой, проходящей через заданную точку кривой, то мы обнаружим интересную особенность в этом уравнении. Действительно, уравнение, проходящее через точку (x0, y0), с угловым коэффициентом k=f'(x0) имеет вид или но

следовательно уравнение касательной записывается в виде

В правой части этого уравнения мы имеем дифференциал функции у в точке х0, а в левой - приращение (или изменение) ординаты касательной. Вот вам и геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной к кривой в этой точке.

Таким образом для уяснения геометрического смысла дифференциала функции вовсе не обязательно рисовать графики функции и касательной, а достаточно всего лишь владеть понятием дифференциала, уметь выводить уравнение прямой с угловым коэффициентом, знать геометрический смысл производной и уметь отличать приращение ординаты касательной прямой от приращения значения функции.

Мы написали заглавную букву игрек в уравнении касательной не случайно: поскольку эта заглавная буква игрек как раз и обозначает значение касательной, а не значение самой функции.

26. Основные теоремы о дифференциалах.

Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя связь дифференциала и производной функции (dy=f'(x)dx) и соответствующие теоремы о производных.

Например, так как производная функции у=с равна нулю, то дифференциал постоянной величины равен нулю: dy=с'dx=0•dx=0.

Теорема. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами:

Докажем, например, вторую формулу. По определению дифференциала имеем:

d(uv)=(uv)'dx=(uv'+vu')dx=vu'dx+uv'dx=udv+vdu

Теорема. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Пусть у=ƒ(u) и u=φ(х) две дифференцируемые функции, образующие сложную функцию у=ƒ(φ(х)). По теореме о производной сложной функции можно написать

у'х=у'u•u'x.

Умножив обе части этого равенства на dx, поучаем у'хdx=у'u•u'хdx. Но у'хdx=dy и u'хdx=du. Следовательно, последнее равенство можно переписать так:

dy=у'udu.

Сравнивая формулы dy=у'х•dx и dy=у'u•du, видим, что первый дифференциал функции у=ƒ(х) определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента.

Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.

Формула dy=у'х•dx по внешнему виду совпадает с формулой dy=у'u•du, но между ними есть принципиальное отличие: в первой формуле х — независимая переменная, следовательно, dx=∆х, во второй формуле и есть функция от х, поэтому, вообще говоря, du≠∆u.

С помощью определения дифференциала и основных теорем о дифференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу дифференциалов.

Например: d(cosu)=(cosu)'udu=-sinu•du.