
- •1.Множества. Основные операции над множествами.
- •6,7.Предел функции в точке.
- •2. Предел функции в точке
- •8.Сравнение бесконечно малых величин
- •10.Первый и второй замечательны пределы.
- •11.Сформулировать теоремы: о пределах суммы, произведения, частного.
- •12.Односторонний предел.
- •14.Теорема о непрерывности функции на отрезках.
- •15.Точки разрыва функции и их классификации.
- •18.Уравнение касательной и нормали к кривой.
- •21.Производные функции заданной параметрической.
- •22.Производная показательно степенной функции.
- •23.Таблица производных.
- •24.Производные высших порядков.
- •25.Определение и геометрический смысл дифференциала.
- •26. Основные теоремы о дифференциалах.
- •27. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •28.Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.
- •29.Правило Лепетала, раскрытие неопределенностей.
21.Производные функции заданной параметрической.
Производные функции, заданной параметрически .
Пусть задана зависимость двух переменных и от параметра , изменяющегося в пределах от до :
Пусть функция имеет обратную: . Тогда мы можем, взяв композицию функций и , получить зависимость от : . Зависимость величины от величины , заданная через зависимость каждой из них от параметра в виде , называется функцией , заданной параметрически.
Производную функции , заданной параметрически, можно выразить через производные функций и : поскольку и, по формуле производной обратной функции, , то
где -- значение параметра, при котором получается интересующее нас при вычислении производной значение .
Заметим, что применение формулы приводит нас к зависимости между и , снова выраженной в виде параметрической зависимости: , ; второе из этих соотношений -- то же, что участвовало в параметрическом задании функции . Несмотря на то, что производная не выражена через в явном виде, это не мешает решать нам задачи, связанные с нахождением производной, найдя соответствующее значение параметра . Покажем это на следующем примере.
Пример 4.22 Пусть зависимость между и задана параметрически следующими формулами:
Найдём уравнение касательной к графику зависимости в точке .
Значения и получаются, если взять . Найдём производные и по параметру :
Поэтому
При получаем значение производной
это значение задаёт угловой коэффициент искомой касательной. Координаты и точки касания заданы в условии задачи. Значит, уравнение касательной таково:
Заметим, что исходя из полученной параметрической зависимости , , мы можем отыскать вторую производную функции по переменной :
Пример 4.23 Пусть дана та же зависимость между и , что в предыдущем примере:
Найдём выражение для второй производной через параметр . Ранее мы получили, что . Поэтому ; производную мы нашли выше. Получаем:
Можно получить и явный вид производной второго порядка от параметрически заданной функции, если подставить в формулу ; при этом получим:
(4.17)
22.Производная показательно степенной функции.
Производная степенно-показательной функции.
Данную функцию мы еще
не рассматривали. Степенно-показательная
функция – это функция, у которой и
степень и основание зависят от «икс».
Классический пример, который вам приведут
в любом учебнике или на любой лекции:
Как найти производную от степенно-показательной функции?
Необходимо использовать только что рассмотренный приём – логарифмическую производную. Навешиваем логарифмы на обе части:
Как правило, в правой части из-под логарифма выносится степень:
В результате в правой
части у нас получилось произведение
двух функций, которое будет дифференцироваться
по стандартной формуле .
Находим производную, для этого заключаем обе части под штрихи:
Дальнейшие действия
несложны:
Окончательно: