21.Производные функции заданной параметрической.

Производные функции, заданной параметрически .

Пусть задана зависимость двух переменных и от параметра , изменяющегося в пределах от до :

Пусть функция имеет обратную: . Тогда мы можем, взяв композицию функций и , получить зависимость от : . Зависимость величины от величины , заданная через зависимость каждой из них от параметра в виде , называется функцией , заданной параметрически.

Производную функции , заданной параметрически, можно выразить через производные функций и : поскольку и, по формуле производной обратной функции, , то

где -- значение параметра, при котором получается интересующее нас при вычислении производной значение .

Заметим, что применение формулы приводит нас к зависимости между и , снова выраженной в виде параметрической зависимости: , ; второе из этих соотношений -- то же, что участвовало в параметрическом задании функции . Несмотря на то, что производная не выражена через в явном виде, это не мешает решать нам задачи, связанные с нахождением производной, найдя соответствующее значение параметра . Покажем это на следующем примере.

Пример 4.22 Пусть зависимость между и задана параметрически следующими формулами:

Найдём уравнение касательной к графику зависимости в точке .

Значения и получаются, если взять . Найдём производные и по параметру :

Поэтому

При получаем значение производной

это значение задаёт угловой коэффициент искомой касательной. Координаты и точки касания заданы в условии задачи. Значит, уравнение касательной таково:

Заметим, что исходя из полученной параметрической зависимости , , мы можем отыскать вторую производную функции по переменной :

Пример 4.23 Пусть дана та же зависимость между и , что в предыдущем примере:

Найдём выражение для второй производной через параметр . Ранее мы получили, что . Поэтому ; производную мы нашли выше. Получаем:

Можно получить и явный вид производной второго порядка от параметрически заданной функции, если подставить в формулу ; при этом получим:

(4.17)

22.Производная показательно степенной функции.

Производная степенно-показательной функции.

Данную функцию мы еще не рассматривали. Степенно-показательная функция – это функция, у которой и степень и основание зависят от «икс». Классический пример, который вам приведут в любом учебнике или на любой лекции: