6,7.Предел функции в точке.

1. Бесконечно малые функции при ха

Прежде чем сформулировать строгое определение, заметим, что условие описывается неравенством |х| > М; условие же хa описывается неравенством |х — а| < . Кроме того (это отчетливо видно на рис 43), когда изучают поведение функции при ха, саму точку х = а не принимают во внимание, т. е. считают, что ха, и потому |х — а| > 0.

Определение 1. Функцию (х) называют бесконечно малой при ха, если для любого > 0 существует > 0 такое, что при всех х из неравенства 0 < |х — а| <следует неравенство |(х)|< . Короче:

(> 0) (> 0) (х :< |х – а| < ) |(х)| <.

Простейшими бесконечно малыми при ха являются функции х—а,

(х — а)2, (х — а)3 и т. д.

Определение 2. Функцию а(х) называют бесконечно малой при ха, если для любого > 0 можно указать проколотую -окрестность точки а, во всех точках х которой выполняется неравенство |(х)| < .

Свойства бесконечно малых функций при ха аналогичны свойствам бесконечно малых функций при х.

2. Предел функции в точке

Определение 3. Число b называют пределом функции f(х) при ха, если f(х)—b является бесконечно малой функцией при ха; пишут

Воспользовавшись для бесконечно малой функции f(х)—b определениями 1 и 2, получим еще два определения, эквивалентные предыдущему.

Определение 4. Число b называют пределом функции f(х) при ха, если для любого > О существует > 0 такое, что из неравенства О < |х—а| < следует неравенство |f(х)—b| < . Короче:

(>0)(>0)(:0<|х-а|<)|f(x)-b|<.

Определение 5. Число b называют пределом функции f(х) при ха, если для любого >0 можно указать такую проколотую -окрестность точки а, в которой выполняется неравенство |f(х) —b|<.

Определение 3 условимся называть определением предела функции в точке «на языке бесконечно малых», определение 4—«на языке е—», определение 5 — «на языке окрестностей».

8.Сравнение бесконечно малых величин

Зададимся вопросом, как можно сравнить две бесконечно малые величины или две бесконечно большие величины?

Определения. Пусть при функции f(x) и g(x) являются бесконечно малыми. Тогда:

2. Если , то f(x) называется бесконечно малой высшего порядка относительно g(x).

3. Если (конечен и отличен от 0), то f(x) называется бесконечно малой n-го порядка относительно g(x).

4. Если , то f(x) и g(x) называются эквивалентными бесконечно малыми. Эквивалентность записывается так: .

Свойства эквивалентных бесконечно малых:

1. Разность двух эквивалентных бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка относительно каждой из них.

2. Если из суммы нескольких бесконечно малых разных порядков отбросить бесконечно малые высших порядков, то оставшаяся часть, называемая главной, эквивалентна всей сумме.

Из первого свойства следует, что эквивалентные бесконечно малые могут сделаться приближенно равными со сколь угодно малой относительной погрешностью. Поэтому знак мы применяем как для обозначения эквивалентности бесконечно малых, так и для записи приближенного равенства их достаточно малых значений.

9.Таблица эквивалентных бесконечно малых

Пусть x → 0. Тогда справедливы следующие соотношения эквивалентности бесконечно малых функций.