1.Множества. Основные операции над множествами.

Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п. Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки. Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит). Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов. Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

2.Функция. Определение и примеры.

Функция (отображение, оператор, преобразование) — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция — это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Это графики основных простейших функций: а именно - график степенной функции, график показательной функции, логарифмической y=log (x),синуса y=sin (x),косинуса y=cos(x),тангенса, котангенса, арксинуса, арккосинуса, арктангенса, и арккотангеса.

3. Функция от одной переменной.

Определение 1. Если каждому значению х числового множества X по правилу f соответствует единственное число множества Y, то говорят, что на числовом множестве X задана функция у = f(x), x X.В этом случае х называется аргументом, у - значением функции. Множество X называется областью определения функции, Y - множеством значений функции.Часто задают это правило формулой; например, у = 2х + 5 или . Указанный способ задания функции при помощи формулы называется аналитическим.

Определение 2. Графиком функции у — f(x) называется множество точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению у = f(x).

Четность и нечетность

Определение 3. Функция у = f(x) называется четной, если она обладает следующими двумя свойствами:

1) область определения этой функции симметрична относительно начала координат О;

2) для любого значения х, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство f(-x) = f(x).

Определение 4. Функция у = f(x) называется нечетной, если:

1) область определения этой функции симметрична относительно точки О;

2) для любого значения х, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство f(-х) = -f(x).

График четной функции симметричен относительно оси Оу, график нечетной функции симметричен относительно начала координат О(0; 0). Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется функцией общего вида.

Определение 5. Функция у = f(x) называется периодической, если существует такое число Т > 0, что для каждого значения х из области определения этой функции х + Т и х - Т также принадлежат области определения и выполняется равенство f(x + Т) = f(x). Число Т называется периодом функции. Очевидно, что f(x + nТ) = f(x), где n Z.

4.Свойства и графики основных элементарных функций.( http://www.mathprofi.ru/grafiki_i_svoistva_funkcij.html).

5. Правило построения графиков функций путем сдвигов и деформации графиков функций.

1.Чтобы построить график путем сдвигов и деформаций, внимательно посмотрите на функцию и выделите основную часть, график которой будет относительно легко начертить (по таблице значений). Например, в функции у=3sin(х-П/2) основная часть у=sinх, а начать построение графика у=2√(х-3) проще с графика у=√х.

2.Составьте таблицу числовых значений переменной для упрощенной функции и постройте график в системе координат. Далее начните приводить его к первоначальному виду.

3. Чтобы получить график функции типа у=f(х-а) (например, у=cos(х+П) или у=(х-1)^3, сдвиньте его вдоль оси абсцисс (как правило, ох) на расстояние а. При этом линия сдвинется влево при а˂0 и вправо при а˃0.

4. Если число прибавлено к функции, а не к аргументу у=f(х)+b (например, у=tgх+5 или у=2+√х), передвиньте график по оси ординат, то есть оу. При b˃0 сдвиньте график вверх на необходимое количество единиц, а при b˂0 – вниз.

5.Чтобы построить график вида у=Аf(х) (например, у=5cosх или у=6√х), основной график необходимо растянуть или сжать по оси оу. При этом каждое значение функции увеличится в А раз. График сожмется, если А˂1 и растянется, если А˃1. Если при этом А˂0, то дополнительно отразите график по вертикали симметрично относительно оси ох.

6. В случае, если переменная х умножена на число прямо под знаком функции, то есть она имеет вид у=f(kх) (например, у=√5х или у=sin3х), действуйте таким же образом. То есть растяните график относительно оси ох при k˂1, сожмите при k˃1. Если k˂0, то отразите его по горизонтали относительно оси оу (так как все значения аргумента при этом сменят знак на противоположный).

7.Для сложной функции, объединяющей несколько перечисленных изменений, стройте график последовательно. Начните с преобразований, деформирующих график (сужающих или растягивающих), в конце проведите перенос на необходимое расстояние. Промежуточные графики не стирайте, но чертите другим цветом, либо пунктирной линией, подписывайте каждый из них.