Оптимальная фильтрация.
Корреляционный интеграл может рассматриваться как интеграл свёртки двух ф-ций. Как известно из теории линейных цепей интеграл свёртки выражает с точностью до постоянного множителя напряжение на выходе линейного фильтра, отклик которого на единичный импульс согласован с функцией сигнала Uc(t-τ0).
- отклик.
Рассмотрим случай когда на вход фильтра имеющего отклик на единичный импульс δ, выходное напряжение в этом случае записывается следующим образом:
Потребуем, чтобы напряжение на выходе фильтра в некоторый фиксированный момент времени τ0+t0 равнялось значению корреляционного интеграла.
Из 11* и 12* получим:
Это выполняется, когда:
Введём новую независимую переменную:
В этом случае импульсная характеристика:
Таким образом, фильтр с такой импульсной характеристикой дает в заданный момент времени τ0+t0значение корреляционного интеграла. Такой фильтр называют оптимальным или согласованным.
Импульсная
характеристика согласованного фильтра
или отклик на единичный импульс полностью
определяется формулой сигнала
и представляет собой его зеркальное
отражение относительно
.
Согласованный фильтр не м/б реализован
при произвольном значении
.
Если
,
то отклик фильтра возник на уровне
раньше, чем подается его импульс. Такой
фильтр не реализуется, поэтому
вытяр., чтоб отличное от 0 значение
отклика располагалось в области t>0.
Это условие выполняется, если интервал
времени
равен или превосходит протяженность
сигнала.
Импульсное представление.
Импульснаяхар-ка согласованного фильтра или отклик на единичный импульс полностью определяется формой сигнала Uc(t), и представляет собой его зеркальное отображение относительно t0/2. Согласованный фильтр не может быть реализован при произвольном зн-ииt0, если t0=0, то отклик фильтра возникает на выходе раньше, чем подаётся импульс на вход. Поэтому t0 выбирается таким образом, чтобы отличные от 0 зн-е отклика располагались в области t>0. Это условие выполняется, если интервал времени t0= или >протяженности сигнала.
Частотное превставление.
Интеграл представляет собой комплексно сопряженную спектральную плотность сигнала.
След-но частотная характеристика согласованного фильтра с точностью до постоянного множителя и множителя запаздывания совпадает с комплексно сопряженной спектральной плотностью сигнала, Модуль частотной характеристики совпадает с амплитудно-частотным спектром сигнала (АЧХ). То есть сигнал проходит на выход без искажений.
Комплексное сопряжение частотной хар-ки приводит к компенсации взаимных фазовых сдвигов между спектральными составляющими сигнала. В момент t0+τ0 все составляющие спектра сигнала суммируются в фазе и сигнал достигает максимального значения.
Таким образом, максимальное значение сигнала на выходе согласованного фильтра определяется только энергией сигнала и не зависит от его формы. Напряжение на выходе согласованного фильтра в момент t0+τ0 зависит от амплитудно- частотного спектра сигнала.
Найдём дисперсию шума на выходе согласованного фильтра. Частотный компоненты шума не коррелированны между собой, следовательно изменение их взаимных фазовых сдвигов засчёт ФЧХ фильтра не влияет на дисперсию шума, поэтому дисперсия шума определяется на выходе согласованного фильтра лишь его спектральной плотностью на входе и АЧХ фильтра.
– спектральная плотность шума на входе
от (
,
где
Если спектральная
плотность шума постоянна в полосе частот
2Fви =0 вне этого интервала,
то
,
где
- спектральная плотность белого шума.
Следовательно,
.
Введем
обозначение:
– коэффициент обнаружения.
Отношение сигнал/помеха а выходе согласованного фильтра зависит только от спектральной плотности шума и энергии полезного сигнала и не зависит от его формы.
С
труктурная
схема оптимального приемника обнаружение
при таком подходе (с согласованным
фильтром) имеет вид:
Рис.4
ВС- временной селектор
СФ- согласующий фильтр
СИ- синхроимпульс (селекторный импульс)
ПУ- пороговое устройство
Операция образования корреляционного интеграла Zможет быть заменена эквивалентной операцией согласованной или оптимальной фильтрации. Напряжение с выхода согласованного фильтра поступает на временной селектор, на который так же подаётся селекторный импульс в момент τ0+t0. Отселектированноенапряжение, пропорциональное значению корреляционного интеграла сравнивается с пороговымZ0.
Рис.5