13.Итерационные методы

Из всего многообразия приближенных методов принципиально важными при численном решении различных инженерных задач являются методы итерационные. Итерационные методы используются во многих приложениях численных задач. Например, в компьютерном инжиниринге решатель процессора представляет дифференциальное уравнение, описывающее поведение инженерного объекта, в виде эквивалентной системы алгебраических уравнений, затем приводит систему алгебраических уравнений к матричному виду и выполняет в итоге решение последовательными приближениями.

Метод итераций (от латинского iteration - повторение), строго говоря, следует назвать методом последовательных приближений. Он интересен тем, что позволяет найти решение с некоторой заранее заданной точностью, кроме того, мелкие ошибки, допущенные в процессе вычислений, впоследствии исправляются, то есть метод является самоисправляющимся. Метод последовательных приближений легко программируется, его удобно использовать в компьютерных вычислениях.

Альтернативой итерационным методам являются прямые методы. По сравнению с прямыми методами итерационные методы сокращают время решения и запрашивает меньше ресурсов компьютера при анализе больших моделей. Итерационные методы являются алгоритмически более простыми и в меньшей степени используют структуру матрицы. Итерационные решатели дают сходящееся от итерации к итерации, приближенное решение. Однако сходимость обычных итерационных методов крайне медленная (например, метод простой итерации в случае плохо обусловленной матрицы). Алгоритмически более сложными являются неявные итерационные методы, в которых решение на новой итерации находится тем или иным прямым методом; но преимуществом неявных методов является существенно более быстрая сходимость.

На результат итерационного процесса влияют ошибки алгоритма и ошибки округления. При использовании итерационных методов ошибки округления не накапливаются. Главное отличие итерационных методов заключается в необходимости предварительно задать начальные значения искомых параметров.

В общем случае итерационный решатель предпочтительно использовать для больших и сложных задач. Он дает возможность получить более эффективное решение пространственных задач различной физической природы (поле температур, акустическое и электромагнитное поля) и других трудоемких видов анализа, математическая сторона которых описывается разреженными, симметричными, положительно определенными матрицами.

Итерационные методы интересны здесь в связи с методом конечных элементов и компьютерным инжинирингом. Основная идея метода конечных элементов состоит в том, что любую непрерывную величину, такую, как температура, давление и перемещение, можно аппроксимировать дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей. Кусочно-непрерывные функции определяются с помощью значений непрерывной величины в конечном числе точек рассматриваемой области. В общем случае непрерывная величина заранее не известна и нужно определить значения этой величины в некоторых внутренних точках области. Дискретную модель, однако, очень легко построить, если сначала предположить, что числовые значения этой величины в каждой внутренней точке области известны. После этого можно перейти к общему случаю. Итак, при построении конкретной модели непрерывной величины поступают следующим образом:

1. В рассматриваемой области фиксируется конечное число точек. Эти точки называются узловыми точками или просто узлами.

2. Значение непрерывной величины в каждой узловой точке считается переменной, которая должна быть определена.

3. Область определения непрерывной величины разбивается на конечное число подобластей, называемых элементами. Эти элементы имеют общие узловые точки и в совокупности аппроксимируют форму области.

4. Непрерывная величина апроксимируется на каждом конечном элементе функцией, которая определяется с помощью узловых значений этой величины. Для каждого элемента определяется своя функция, но функции подбираются таким образом, чтобы сохранялась непрерывность величины вдоль границ элемента.

Для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в методе конечных элементов (МКЭ) требуется выбрать метод решения. Окончательное решение о применении итерационных или прямых методов решения СЛАУ необходимо принимать на основе анализа структуры исследуемой математической задачи. Прямые методы решения СЛАУ более выгодно использовать, если необходимо решать много одинаковых систем с различными правыми частями, или если матрица А не является положительно-определенной. Кроме того, существуют задачи с такой структурой матрицы, для которой прямые методы всегда предпочтительнее, чем итерационные.