11.Матрицы в cae-ситемах

Многие технические задачи в приближенных расчетах сводятся к решению систем линейных уравнений в матричном виде, кроме того, при решении инженерных задач исходные и обрабатываемые табличные данные могут быть представлены для компьютерных вычислений в виде матриц.

Квадратная матрица

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной.

Вектор

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (вектор-столбец или вектор-строка соответственно).

Диагональная матрица

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали равны нулю, называется диагональной.

Единичная матрица

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Следует отметить особую роль единичной матрицы, аналогичную той роли, которую играет число 1 при перемножении вещественных чисел: при умножении произвольной квадратной матрицы на единичную получают исходную матрицу: AE = EA = A.

Транспонированная матрица

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной к данной.

Сложение и умножение матриц

При сложении матриц складываются их элементы с одинаковыми индексами. Сложение проводится только для матриц одинаковых размеров. При умножении матрицы на число каждый элемент исходной матрицы умножается на данное число. Произведение матриц вычисляется как сумма произведений элементов i-ой строки матрицы на соответствующие элементы j-го столбца матрицы. Операция умножения проводится для двух матриц, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Коммутирующие матрицы

Произведение двух квадратных матриц одинакового порядка не обладает в общем случае перестановочным свойством. Матрицы, для произведения которых справедливо перестановочное свойство, называют коммутирующими матрицами.

Эквивалентные матрицы

Эквивалентные матрицы – матрицы, которые могут быть получены одна из другой с помощью элементарных преобразований, а именно: 1) перестановкой местами двух строк матрицы; 2) умножением всех элементов строки на число, отличное от нуля; 3) сложением двух строк.

Определитель матрицы

Определитель матрицы или ее детерминант – вещественное число, вычисляемое по элементам матрицы согласно определенным правилам. Определитель матрицы порядка более 2 вычисляется через определители этой матрицы низших порядков.

Минор матрицы

Минор элемента определителя матрицы – определитель, полученный из исходного после вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

Присоединенная матрица

Присоединенная матрица имеет элементы, равные алгебраическим дополнениям элементов исходной матрицы.

Обратная матрица

Обратная матрица – квадратная матрица того же порядка, произведение которой на исходную матрицу равно единичной матрице. Обратная матрица находится делением присоединенной матрицы на определитель исходной матрицы. Процедура нахождения обратной матрицы используется при решении системы линейных алгебраических уравнений. Систему уравнений можно представить в матричном виде. Решение матричного уравнения можно свести к нахождению обратной матрицы, поскольку умножив слева обе части уравнения на обратную матрицу, получаем непосредственно вектор-столбец неизвестных значений.

Вырожденная матрица

Вырожденная матрица – матрица, определитель которой равен нулю. Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу.

Разреженная матрица

Разреженная матрица – матрица, большинство элементов которой равно нулю. Вводится понятие плотности матрицы – отношение числа ненулевых элементов к общему числу элементов матрицы. Разреженные матрицы формируются при переходе к компьютерному решению различных задач с помощью программ компьютерного инженерного анализа. Матрицы в решаемых при этом уравнениях, как правило, симметричны относительно главной диагонали и имеют разреженную структуру. При решении задач на прочность и жесткость конструкций формируется глобальная матрица жесткости системы, в тепловых задачах матрица имеет смысл теплового сопротивления.

Ленточная матрица

Ленточная матрица – разреженная матрица с ленточной структурой ненулевых элементов. Ленточные матрицы формируются при выполнении вычислительных процедур в САЕ-программе. Для ленточных матриц вводят понятие ширины ленты.

Трехдиагональная матрица

Трехдиагональная матрица – матрица, все элементы которой, кроме элементов главной и примыкающих к ней диагоналей, равны нулю. Важность трехдиагональной матрицы обусловлена тем, что некоторые методы преобразований позволяют привести произвольную матрицу к этому частному виду.

Ортогональная матрица

Ортогональная матрица – такая матрица, для которой выполняется условие: АТА = Е, где АТ – транспонированная матрица, Е – единичная матрица. Матрица, обратная ортогональной, эквивалентна транспонированной.

Сингулярная матрица

Сингулярная матрица – такая матрица, между строками которой (а также между столбцами) существует линейная зависимость; определитель такой матрицы равен нулю. Решение системы линейных алгебраических уравнений в САЕ-программе приводит к обработке матрицы большой размерности. Если матрица является сингулярной и ее определитель равен нулю, решаемая система уравнений является вырожденной и однозначное решение для нее отсутствует. Понятие вырожденной системы линейных уравнений означает, что фактически сама система является недостаточно определенной для решения, поскольку некоторые уравнения, входящие в такую систему, представляются линейной комбинацией других уравнений. Тогда существует либо бесконечное множество решений, либо не существует ни одного.

Симметрическая матрица

Симметрическая матрица совпадает со своей транспонированной матрицей, т.е. нижний треугольник квадратной матрицы является «зеркальным отражением» верхнего треугольника. Разреженная ленточная симметрическая матрица может быть объектом обработки в САЕ-программах при решении некоторых задач. Симметрическая положительно определенная матрица (в американской литературе – Symmetric Positive Defined или сокращенно SPD) формируется в САЕ-программах при решении задач о прочности и жесткости конструкций.

Треугольная матрица

Треугольная матрица формируется при выполнении вычислительных процедур.

Факторизация матриц

Факторизацией матрицы называют такое преобразование, которое ведет к формированию эквивалентной треугольной матрицы. Один шаг факторизации формирует одну строку треугольной матрицы. Такое преобразование производят при решении системы алгебраических уравнений методом исключения (Гаусса), когда коэффициенты системы представлены в матричном виде.

Матричное уравнение

В соответствии с правилом умножения матриц система линейных уравнений может быть записана в матричной форме Ax=b. Матрица A, столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками - коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении называется матрицей системы. Матрица-столбец b, элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы. Матрица-столбец x, элементы которой - искомые неизвестные, называется решением системы. Система линейных алгебраических уравнений, записанная в виде Ax=b, является матричным уравнением.