71. Аппроксимация табличных данных типовыми функциями и сплайнами.
Обычно используют:
Аппроксимация (А) одной или несколькими элементарными функциями;
Аппроксимация рядами (Тейлора);
Аппроксимация сплайнами.
Для первого случая не существует алгоритма выбора рациональной функции - перебор вариантов. Во - втором случаи ограничивают количество слагаемых (3-5), что естественно ограничивает диапазон аппроксимируемых функций. В-третьем случаи используют сплайны 2-го и 3-го порядка (квадратичные, кубические). У кубических сплайнов должны совпадать значения не только функции, но и значения производной 1-ой и 2-ой производной, это процедура универсальная, так как аппроксимация кусочная.
При аппроксимации данных обязательно оговаривается точность аппроксимации, так как экспериментальные данные имеют статистическое рассеяние; аппроксимирующая функция должна лежать в пределах доверительных интервалов данных. Для 1-го случая – для оценки отклонения функции от данных широко используется метод наименьших квадратов:
,
отклонения.
То же справедливо и для 2-го случая. При аппроксимации сплайнами значения в точках статистически определены, а значения между точками должны оцениваться.
3: А. сплайнами обычно проводится на участке между экспериментальными точками, при этом, несмотря на гладкость функции на стыках могут возникать большие отклонения от реальной функции между экспериментальными точками. Для аппроксимации сплайнами функции с большими градиентами целесообразно планировать эксперименты с мелким шагом изменения факторов, т.е. точек должно быть больше. При резких изменениях функции сплайнами бывает трудно провести аппроксимацию без дополнительных опытов.
При аппроксимации данных обязательно оговаривается точность аппроксимации, так как экспериментальные данные имеют статистическое рассеяние; аппроксимирующая функция должна лежать в пределах доверительных интервалов данных. Кроме указания диапазона варьирования функции необходимо указывать вид аппроксимации, вероятность нахождения в данном доверительном интервале. Если уровень погрешности в пределах одного графика разный, то соответственно max. min. погрешности.
72. Математические методы уменьшения количества экспериментальных факторов.
Для отбора факторов сначала используются информативные материалы, а если их недостаточно, то проводят поисковый эксперимент, обычно однофакторный.
Вторым направлением, позволяющим отобрать необходимые факторы и сократить их количество, является путь определения зависимости между безразмерными и размерными комплексами измеряемых величин.
Методологической основой является теория подобия или анализ размерности.
Теория подобия основывается на том, что разные физические процессы описываются одним и тем же математическим выражением. Т.е. моделирование различных физических объектов и перенесение их свойств с одного объекта на другой.
Вследствие подобия объектов становится возможным использование безразмерных комплексов, для описания этих объектов. Безразмерные комплексы используют в гидравлике, теплопередаче, гидродинамике и т.д.
Для определения возможного количества безразмерных комплексов используют теорему Букингема: если существует однофазное состояние φ(A1, A2,…,An)=0 между n средними величинами, для описания которых используются основы физических величин, то можно получить зависимость вида φ/(П1, П2,…, Пn)=0 между (n-k) безразмерными комплексами.
В теории подобия безразмерные комплексы получают приведением к безразмерному виду математические уравнения. Отбираются те безразмерные комплексы, которые имеют наиболее ясный физический смысл.
Ограничения теории подобия связаны с тем, что исследуемые объекты имеют, как правило, маленькие градиенты поля в пределах области исследования, и характеристики поля остаются однородными. В технике это характерно при не очень высоких скоростях движения жидкости или газа.
Если физические свойства среды сильно изменяются, теория подобия становится неприемлемой.
Тем не менее, использование критериев, сформулированных из нескольких параметров, в ряде случаев может быть оправдано, если указаны границы применения полученных моделей.
Уравнения математики не всегда известны для исследуемого процесса, поэтому для получения безразмерных и размерных комплексов используют анализ размерностей. Напр. для описания плазменных процессов.
Комбинируя имеющиеся измеряемые параметры, получают разные размерные и безразмерные комплексы и выбирают из них наиболее полные для обобщения данных.