25. Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних сил, меняющихся во времени.
Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.
Наиболее
простой и содержательный пример
вынужденных колебаний можно получить
из рассмотрения гармонического
осциллятора
и вынуждающей силы, которая изменяется
по закону:
.
Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными. Внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.
Если свободные колебания происходят на частоте ω0, которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешней силы.
В начальный момент в колебательной системе возбуждаются оба процесса – вынужденные колебания на частоте ω и свободные колебания на собственной частоте ω0.
Но
свободные колебания затухают из-за
неизбежного наличия сил трения. Поэтому
через некоторое время в колебательной
системе остаются только стационарные
колебания на частоте ω внешней вынуждающей
силы. Внешняя сила
приложена
к свободному концу пружины. Она заставляет
свободный (левый на рис. 2.5.1) конец пружины
перемещаться по закону
y = ym cos ωt. |
где ym – амплитуда колебаний, ω – круговая частота. Такой закон перемещения можно обеспечить с помощью шатунного механизма, не показанного на рис. 2.5.1.
Уравнению,
выражающему второй закон Ньютона для
тела на пружине при наличии внешнего
периодического воздействия, можно
придать строгую математическую форму,
если учесть связь между ускорением тела
и его координатой:
Тогда
уравнение
вынужденных колебаний
запишется в виде
|
|
(**) |
где
–
собственная круговая частота свободных
колебаний, ω – циклическая частота
вынуждающей силы. В случае вынужденных
колебаний груза на пружине (рис. 2.5.1)
величина A определяется выражением:
|
Зависимость амплитуды xm вынужденных колебаний от частоты ω вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой
Наиболее известная большинству людей механическая резонансная система — это обычные качели. Если вы будете подталкивать качели в соответствии с их резонансной частотой, размах движения будет увеличиваться, в противном случае движения будут затухать. Резонансную частоту такого маятника с достаточной точностью в диапазоне малых смещений от равновесного состояния, можно найти по формуле:
,
где g это ускорение свободного падения (9,8 м/с² для поверхности Земли), а L — длина от точки подвешивания маятника до центра его масс.
частота главного резонанса зависит от свойств струны и выражается следующим отношением:
,
где T — сила натяжения, ρ — масса единицы длины струны, а m — полная масса струны.
Увеличение натяжения струны и уменьшение её массы (толщины) и длины увеличивает её резонансную частоту