27. Теорема Чебышева

Т. При достаточно большом числе попарно независимых случайных величин с математическими ожиданиями и дисперсиями с вероятностью, близкой к единице, можно утверждать, что разность между средней арифметической наблюдавшихся значений случайных величин и средней арифметической их математических ожиданий по абсолютной величине окажется меньше сколь угодно малого числа при условии, что дисперсия всех этих величин не превосходит одного и того же постоянного числа В, то есть

,

где - положительное число, близкое к нулю.

Доказательство. Пусть - п попарно независимых случайных величин. Средняя арифметическая этих величин является, в свою очередь, тоже случайной величиной. Обозначим её : . Определим математическое ожидание и дисперсию :

,

.

Применяя к случайной величине неравенство Чебышева, получаем

,

или .

Заменяя в правой части последнего неравенства дисперсии случайных величин величиной В, которую по условию теоремы не превосходит ни одна из дисперсий, получаем усиленное неравенство

.

Для любого сколь угодно малого числа можно найти такое число п, при котором выполняется неравенство . Таким образом получаем неравенство, которое требовалось доказать:

.

Переходя в фигурных скобках к противоположному событию, можно записать .

Теорема Чебышева показывает, средняя арифметическая попарно независимых случайных величин обладает свойством устойчивости и при определённых условиях мало отличается от средней арифметической математических ожиданий этих величин.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

28. Основные понятия математической статистики

Математическая статистика- это раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений с целью выявления существующих закономерностей. Выводы о закономерностях, которым подчиняются явления, изучаемые методами математической статистики, всегда основываются на ограниченном, выборочном числе наблюдений. Поэтому естественно предположить, что эти выводы при большом числе наблюдений могут оказаться иными. Чтобы быть в состоянии высказать более определённое суждение об изучаемом явлении, математическая статистика опирается на теорию вероятностей.

Оценив неизвестные величины или зависимости между ними по данным наблюдений, исследователь выдвигает ряд гипотез, предположений о том, что рассматриваемое явление можно описать той или иной вероятностной теоретической моделью. Далее, используя математико-статистические методы, можно дать ответ на вопрос, какую из гипотез или моделей следует принять. Именно эта модель и есть закономерность изучаемого явления.

Основные задачи математической статистики состоят в разработке методов:

1. организации и планирования статистических наблюдений;

2. сбора статистических данных;

3. «свертка информации», то есть методов группировки и сокращения статистических данных с целью сведения большого числа таких данных к небольшому числу параметров, которые в сжатом виде характеризуют всю исследуемую совокупность;

4. анализа статистических данных;

5. принятия решений, рекомендаций и выводов на основе анализа статистических данных;

6. прогнозирования случайных явлений.

Одним из основных методов статистического наблюдения является выборочный метод. Рассмотрим основные понятия этого метода.