Тема 9. Статистические ряды динамики

1. Понятие статистических рядов динамики. Элементы статистического ряда динамики.

2. Расчет среднего уровня статистического ряда динамики.

3. Показатели анализа статистических рядов динамики.

4. Выявление основной тенденции развития явления.

1. Понятие статистических рядов динамики. Элементы статистического ряда динамики.

Результатом группировки и сводки статистических материалов выступают ряды цифр или статистические ряды данных. Они могут характеризовать распределение единиц совокупности по значениям признака в статике – статистические ряды распределения, либо изменение размеров массового общественного явления во времени – статистические ряды динамики.

Таким образом, статистический ряд распределения – это ряд последовательно расположенных в хронологическом порядке показателей, характеризующих развитие явления во времени.

Элементами статистического ряда динамики выступают:

• уровень ряда (y_i) – показатель, характеризующий размер явления,

• время (t_i).

Классификация статистических рядов динамики осуществляется по:

• значениям уровня ряда – ряды абсолютных, относительных и средних величин,

• времени – интервальные статистические ряды динамики – ряды, отражающие процесс формирования явления за определенный период (интервал) времени,

- моментные статистические ряды динамики – ряды, демонстрирующие размер явления на конкретный момент времени.

Отражение явления по времени зависит от экономической сущности явления. Например, имеет экономический смысл наблюдать численность населения на конкретные даты (таблица 1) , однако выпуск продукции можно охарактеризовать только как процесс, результат которого формируется за период времени (таблица 2).

Таблица 1

Численность населения России,

на конец года; млн. человек

	2004	2005	2006	2007	2008
Всего	143,5	142,8	142,2	142,0	141,9

Таблица 2

Валовой внутренний продукт России,

млрд. рублей

	2004	2005	2006	2007	2008
Всего	17048	21625	26904	33111	41668

При этом и интервальные и моментные статистические ряды динамики могут быть с равноотстоящими по времени уровнями и неравно отстоящими.

Таким образом, виды статистических рядов динамики по времени:

• интервальные

- с равными периодами наблюдения,

- с неравными периодами наблюдения,

• моментные

- с равными промежутками времени между наблюдениями,

- с неравными промежутками времени между наблюдениями.

2. Расчет среднего уровня статистического ряда динамики.

Средний уровень ряда рассчитывается по-разному, в зависимости от вида ряда динамики по времени:

• в интервальном статистическом ряду динамики с равными периодами наблюдения – по формуле средней арифметической простой величины:

[1]

где n – число периодов наблюдения;

• в интервальном статистическом ряду динамики с неравными периодами наблюдения – по формуле средней арифметической взвешенной величины:

[2]

где t – число периодов времени, в течение которых уровень не изменяется;

• в моментном статистическом ряду динамики с равными промежутками времени между наблюдениями – по формуле средней хронологической величины:

[3]

где y₁ – первый уровень ряда,

y₂ - второй уровень ряда,

y_n-1 - предпоследний уровень ряда,

y_n - последний уровень ряда;

• в моментном статистическом ряду динамики с неравными промежутками времени между наблюдениями – по формуле средней арифметической взвешенной величины:

[4]

где - средний уровень между двумя ближайшими моментами наблюдения, рассчитанный по формуле средней арифметической простой величины,

- число периодов времени, в течение которых не изменяется.

3. Показатели анализа статистических рядов динамики.

Для количественной оценки динамики изучаемых явлений применяются абсолютные и относительные показатели анализа статистических рядов динамики:

• абсолютный прирост,

• коэффициент (темп) роста,

• коэффициент (темп) прироста,

• абсолютное значение одного процента прироста.

В зависимости от выбора базы сравнения указанные показатели делятся на цепные и базисные:

• цепные (ц) - при сравнении каждого уровня ряда (y_i) с предыдущим (y_i-1),

• базисные (б) - при сравнении каждого уровня ряда (y_i) с одним и тем же уровнем, принятым за базу (как правило, с начальным (y₁)).

Абсолютный прирост (Δy) - выражает абсолютную скорость роста (снижения) уровней ряда динамики. Рассчитывается как разность двух уровней:

• цепной:

[5]

• базисный:

[6]

Выражается в единицах измерения уровней ряда и показывает на сколько единиц измерения ряда сравниваемый уровень ряда больше (меньше) уровня ряда, принятого за базу сравнения.

Коэффициент роста (Кр) – выражает интенсивность изменения уровней ряда динамики. Рассчитывается как отношение уровней ряда:

• цепной:

[7]

• базисный:

[8]

Выражается в коэффициентах и показывает, во сколько раз сравниваемый уровень ряда больше уровня ряда, принятого за базу сравнения.

Темп роста (Тр) – это коэффициент роста, выраженный в процентах:

Тр = Кр * 100% [9]

Показывает, сколько процентов сравниваемый уровень ряда составляет от уровня ряда, принятого за базу сравнения.

Коэффициент прироста (Кпр) – дает оценку абсолютного прироста в относительных величинах. Рассчитывается как отношение абсолютного прироста к предыдущему или базисному уровню:

• цепной:

[10]

• базисный:

[11]

При анализе экономический смысл имеет только в процентах, т.е. темпах прироста (Тпр):

Тпр = Кпр * 100% = (Кр – 1) *100% = Кр *100% - 100% = Тр – 100% [12]

Показывает, на сколько процентов сравниваемый уровень ряда больше (меньше) уровня ряда, принятого за базу сравнения.

Абсолютное значение 1% прироста (A1%) – результат деления абсолютного прироста на соответствующий темп прироста:

• цепной:

[13]

• базисный:

[14]

Выражается в единицах измерения уровней ряда. Показывает, сколько единиц измерения ряда составляет изменение явления на 1%. Обычно рассчитывается как цепные показатели, т.к. значения базисных показателей для всех времен явления будут одинаковы.

4. Выявление основной тенденции развития явления.

При анализе статистического ряда динамики возникает задача выявить основную тенденцию развития явления для прогнозирования данного явления на будущее. Этого можно достичь следующими способами:

I. Рассчитав средние показатели анализа статистического ряда динамики:

• средний абсолютный прирост,

• средний коэффициент (темп) роста,

• средний темп прироста.

II. Произведя аналитическое выравнивание статистического ряда динамики.

I. Расчет средних показателей анализа статистического ряда динамики.

Средний абсолютный прирост – как средняя арифметическая простая цепных абсолютных приростов:

[15]

где m – число цепных абсолютных приростов.

При этом, так как сумма абсолютных приростов цепных равна абсолютному приросту базисному для последнего периода наблюдения, т. е.:

ΣΔy_ц = Δy_ц2 + Δy_ц3 + … + Δy_цn = (y₂ – y₁) + (y₃ – y₂) + … + (y_n-1 – y_n) = y_n – y₁ = Δy_бn [16]

а число цепных абсолютных приростов на 1 меньше, чем периодов наблюдения, т. е.

m = n – 1 [17]

то

[18]

Средний коэффициент роста - по формуле средней геометрической цепных коэффициентов роста:

[19]

где m – число цепных коэффициентов роста,

Π – знак произведения.

При этом, так как произведение коэффициентов роста цепных равно коэффициенту роста базисному для последнего периода наблюдения, т. е.:

[20]

а число цепных коэффициентов роста на 1 меньше, чем периодов наблюдения, т. е.

m = n – 1 [21]

то

[22]

Средний темп роста – как средний коэффициент роста, выраженный в процентах:

[23]

Средний темп прироста определяется исходя из взаимосвязи между темпами роста и темпами прироста [12]:

[24]

II. Аналитическое выравнивание статистического ряда динамики по математической кривой (прямой, параболе, гиперболе и т.д.) позволяет найти плавную линию развития (тренд) данного явления.

Сущность метода аналитического выравнивания заключается в том, чтобы представить тренд как временную функцию:

[25]

где - уровни тренда,

t – время.

Аналитическое выравнивание по прямой линии производят, если явление во времени развивается равномерно, когда развитие равноускоренное (равнозамедленное), т.е. стабильны абсолютные приросты, коэффициенты (темпы) роста, темпы прироста. При переменном развитии явления (ускорение, потом замедление или наоборот) выравнивание производится по формулам кривых линий. В целом выбор временной функции определяется темпами развития явления во времени.

Простейшим способом аналитического выравнивания выступает выравнивание по функции прямой линии:

[26]

где - параметры уравнения:

a₀, – свободный член уравнения, характеризующий обобщающее влияние на результат всех факторов, кроме рассматриваемого (времени),

a₁ – коэффициент регрессии, измеряющий среднее отклонение результативного признака (уровня ряда, y) от его средней величины при отклонении факторного признака (времени, t) на одну единицу его измерения – вариация y, приходящаяся на единицу вариации t. Кроме того, указывает направление развития явления:

при - рост уровней ряда в среднем на эту величину (равномерный),

при - снижение уровней ряда в среднем на эту величину (равномерное).

Нахождение параметров уравнения осуществляется методом наименьших квадратов через систему нормальных уравнений:

[27]

Для упрощения техники расчета в рядах динамики показателям времени (t) придают такие значения, чтобы их сумма была равна нулю, т.е. Σt = 0. В рядах динамики с нечетным числом уровней порядковый номер уровня, находящегося в середине ряда, обозначается как ноль (условное начало отсчёта времени, «0»), показатели времени всех предыдущих уровней обозначаются с интервалом (-1), а всех последующих – с интервалом (+1) (например, при n=5 t будут: -2,-1,0,+1,+2). При чётном числе уровней (например, n=6) условный шаг будет равен двум, т.е. порядковые номера левой половины ряда (от середины ранние периоды) обозначатся числами (от меньшего к большему): -5, -3, -1, а правой половины (от середины поздние периоды): +1,+3,+5.

Тогда уравнения примут следующий вид:

[28]

откуда

[29]

Определив параметры а₀ и а₁, можно вычислить теоретические уровни, т.е. ординаты точек искомой прямой.