Тема 6. Средние величины

1. Сущность и значение средней величины. Виды средних величин.

2. Среднее значение признака, методы его расчета.

3. Структурные средние величины.

1. Сущность и значение средней величины. Виды средних величин.

Средняя величина – это один из самых распространенных приемов обобщений, в которых находят выражение действие общих условий, закономерность развития изучаемого явления. Средняя величина позволяет через единичное и случайное выявить общее в развитии общественного явления.

Средняя величина - это наиболее обобщенная характеристика совокупности по количественно-варьирующему признаку в расчете на единицу однородной совокупности.

Правило: средние величины должны исчисляться на основе массового обобщения фактов и применяться к качественно однородным совокупностям.

Средняя величина отражает то общее, типичное, что складывается в отдельном изучаемом явлении, поэтому она должна дополняться другими аналитическими показателями, так как за общими благополучными средними могут скрываться серьезные недостатки.

Каждая средняя величина характеризует совокупность только по какому-либо одному признаку. Чтобы получить полное представление об изучаемом явлении (совокупности по ряду признаков), надо рассчитать систему средних величин.

Средние величины измеряются в тех же единицах, что и признак.

В статистике выделяют следующие виды средних величин:

• среднее значение признака,

• структурные средние величины: мода,

медиана.

2. Среднее значение признака, методы его расчета.

Для расчета среднего значения признака в статистике применяются следующие методы расчета средних величин:

• средняя арифметическая,

• средняя гармоническая,

• средняя квадратическая (применяется при исчислении показателей вариации)

• средняя хронологическая (применяется для расчета среднего уровня ряда в моментных статистических рядах динамики с равными периодами времени между наблюдениями),

• средняя геометрическая (применяется при исчислении средних темпов роста в статистических рядах динамики).

Средняя арифметическая – отношение объема варьирующего признака к числу единиц совокупности:

[1]

Используется две ее формы:

• простая – когда объем варьирующего признака рассчитывается как сумма значений признака каждой единицы совокупности:

[2]

где - среднее значение признака,

å - знак суммы “сигма”,

x - значение признака (варианта)

åx – объем варьирующего признака,

n - число единиц совокупности.

Средняя арифметическая простая применяется в случаях, когда имеются значения признака по каждой единице совокупности, т.е. на индивидуальных данных.

• взвешенная – когда объем варьирующего признака рассчитывается как сумма произведений значений признака на частоту (вес) (f) и тогда число единиц совокупности рассчитывается как сумма частот:

[3]

Средняя арифметическая взвешенная применяется в случаях, когда имеются значения признака (x) - качественная особенность единицы совокупности и частота (вес) (f) - число единиц совокупности, обладающих данным значением признака. Указанные характеристики выступают элементами статистического ряда распределения, а так как средняя величина - это наиболее обобщенная характеристика совокупности по количественно-варьирующему признаку, то - вариационного статистического ряда распределения.

Таким образом, сфера применения средней арифметической взвешенной – вариационные статистические ряды распределения. Которые делятся на два вида:

• дискретные - если значения признака представлены отдельными (дискретными) числами. Тогда среднее значение признака рассчитывается непосредственно по формуле средней арифметической взвешенной,

• интервальные - если значения признака представлены диапазонами, интервалами. Тогда для применения формулы средней арифметической взвешенной необходимо значения признака представить в виде дискретных чисел, т.е. перейти от интервального вариационного статистического ряда распределения к дискретному. Для этого по каждому интервалу значений признака рассчитывается среднее значение признака (как наиболее обобщенная характеристика совокупности по количественно-варьирующему признаку) по формуле средней арифметической простой:

[4]

где - среднее значение признака в i-том интервале,

x_{i max} – верхняя граница i- го интервала,

x_{i min} – нижняя граница i- го интервала.

При этом открытые интервалы (т.е. описанные только одной границей – верхней или нижней) закрывают по правилу:

- первый закрывают по длине второго,

- последний – по длине предпоследнего.

Свойства средней арифметической:

• произведение среднего значения признака на число единиц совокупности равно объему варьирующего признака:

[5]

или

[6]

• сумма отклонений значений признака от среднего значения признака равна нулю:

[7]

или

[8]

• если все частоты разделить или умножить на какое-либо число, то средняя арифметическая от этого не изменится:

[9]

Средняя гармоническая (как частный случай средней арифметической) – используется в случаях, если известны значения варьирующего признака, и объем варьирующего признака (произведение признака на частоту – х*f), но нет информации о числе единиц совокупности. В практике чаще всего применяется в форме взвешенной:

[10]

Средняя квадратическая – корень квадратный из среднего квадрата значений признака (применяется как показатель вариации признака):

[11]

- в форме простой, если средний квадрат значений признака рассчитывался по формуле средней арифметической простой, т.е. на индивидуальных данных:

[12]

и тогда

[13]

- в форме взвешенной, если средний квадрат значений признака рассчитывался по формуле средней арифметической взвешенной:

[14]

Cредняя хронологическая – как отношение суммы половины первого и последнего значений признака и полных промежуточных значений признака к числу единиц совокупности, уменьшенному на единицу:

[15]

Средняя геометрическая – корень n-ой степени из произведения (П) значений признака (х₁,х₂,…,x_n):

[16]

3. Структурные средние величины.

Структурные средние – мода и медиана – применяются для характеристики структуры изучаемой совокупности.

Мода (Мо) в статистике – это значение признака (варианта), которое чаще всего встречается в данной совокупности, то есть варианта, имеющая наибольшую частоту:

[17]

Таким образом, для определения моды необходимо наличие частот, т.е. мода рассчитывается только на вариационных статистических рядах распределения. При этом:

- в дискретных вариационных статистических рядах распределения мода определяется визуально,

- в интервальных вариационных статистических рядах распределения мода рассчитывается по специальной формуле. При применении формулы необходимо соблюдать следующее условие: длины всех интервалов должны быть равными.

В самой же формуле используются следующие допущения:

• мода расположена в наиболее часто встречающемся интервале (т.е. интервале с наибольшей частотой) – модальном интервале,

• значения признака в модальном интервале расположены равномерно,

• мода в модальном интервале тяготеет к той его границе, где частота рядом лежащего интервала (предшествующего или последующего) больше:

[18]

где х_Мо – нижняя граница модального интервала,

i_Мо – длина модального интервала,

f_Мо-1 - частота интервала, предшествующего модальному,

f_Мо - частота модального интервала,

f_Мо+1 - частота интервала, следующего за модальным.

Медиана (Ме) – это значение признака (варианты), расположенного на середине ранжированного статистического ряда (ряда, в котором значения признака расположены в порядке возрастания или убывания), т. е. делит численность упорядоченного статистического ряда пополам,

• для индивидуальных данных

[19]

При этом для данных с нечетным количеством единиц совокупности (обязательно расположенных в порядке возрастания или убывания значений признака) медианой будет значение признака (варианта), расположенная в центре ряда; с четным количеством - рассчитывается по формуле средней арифметической простой из двух центральных смежных вариант.

• для вариационных статистических рядов распределения:

[20]

Медиана в дискретном вариационном статистическом ряду распределения и медианый интервал в интервальном находятся по данным о накопленных (суммированных) частотах. Так как медиана делит количество единиц совокупности пополам, значит, находится там, где накопленная (кумулятивная) частота составляет половину или больше половины суммы частот, а предыдущая накопленная частота меньше половины численности совокупности.

Затем, на интервальном вариационном статистическом ряду распределения она рассчитывается по формуле:

[21]

где х_Ме – нижняя граница медианного интервала,

i_Ме - длина медианного интервала,

åf – сумма частот,

S_Ме-1 - сумма частот, накопленных до медианного интервала,

f_Ме – частота медианного интервала.

Значение моды и медианы можно определить также графически: моду – при помощи построения гистограммы, медиану – при помощи построения кумуляты (графика накопленных частот).