Тема 10. Индексы

1. Понятие и классификация индексов.

2. Агрегатные индексы. Система индексов.

3. Средние индексы.

4. Индексы средних величин.

5. Анализ изменения сложного явления за счет составляющих элементов.

1. Понятие и классификация индексов.

Наиболее широко в экономической практике и статистическом анализе при исследовании сложных социально-экономических явлений применяется индексный метод.

Индекс (index - показатель) – это относительная величина, позволяющая сравнивать совокупности, элементы которых являются несоизмеримыми величинами, т.е. математически не поддаются суммированию (например, производство продукции разных видов в натурально-вещественной форме).

Основой индексного метода является переход от натурально-вещественной формы выражения явлений к стоимостным измерителям.

Индексный метод позволяет решить три основные задачи статистических исследований:

• сравнить характеристики совокупностей, состоящих из несоизмеримых (не суммируемых) элементов,

• проанализировать влияние структурных сдвигов, то есть изменений в структуре изучаемого явления, на обобщающий показатель.

• провести факторный анализ, то есть измерить влияние различных факторов на сложное явление (сложное явление – явление, полученное произведением элементов (компонентов)).

Классификация индексов.

I. В зависимости от вида относительной величины:

- индексы динамики – построенные как относительная величина динамики,

- территориальные индексы – построенные как относительная величина сравнения.

II. В зависимости от вида элемента совокупности:

- индекс качественного элемента (признака) – характеристика единицы совокупности (цена единицы продукции (p), себестоимость единицы продукции (z) и т.д.),

- индекс количественного элемента (частоты) – характеристика числа единиц совокупности (количество продукции или физический объем (q)),

- индекс сложного явления (объема варьирующего признака) – характеристика явления, полученного произведением качественного и количественного элементов (товарооборот (p*q), затраты на производство продукции (z*q))

III. В зависимости от степени охвата количества видов элемента совокупности:

- индивидуальные индексы (i) – по одному виду элемента совокупности (качественного, количественного или сложного явления) (например, только по молоку),

- сводные индексы (I) - по нескольким видам элемента совокупности (качественного, количественного или сложного явления) (например, по молочной продукции в целом).

Методика построения индекса (на примере оценки динамики количества проданного молока):

1. так как только по молоку, то строится индивидуальный индекс (i),

2. так как количество проданного молока, то индивидуальный индекс количественного элемента (i_q) или индивидуальный индекс физического объема,

3. любой индекс – это относительная величина, т.е. получается делением…

[1]

4. …интересующего явления (количество проданного молока или физический объем)

[2]

5. так как оценка динамики, то в отчетном (текущем) периоде (1) по сравнению с предшествующим (базисным) (0)

[3]

Оценка динамики цены молока осуществляется при помощи индивидуального индекса качественного элемента или индивидуального индекса цены по формуле:

[4]

Оценка динамики стоимости проданного молока осуществляется при помощи индивидуального индекса сложного явления или индивидуального индекса товарооборота по формуле:

[5]

Таким образом, индивидуальные индексы, характеризующие изменение явления во времени, являясь, по сути, относительными величинами динамики анализируются как коэффициенты роста, темпы роста или темпы прироста изучаемого явления.

2. Агрегатные индексы. Система индексов.

Сводные индексы (I) выражают обобщающие результаты изменения во времени (или в пространстве) нескольких видов элемента совокупности (качественного, количественного или сложного явления) (индексы сводят). К ним относятся: сводный индекс физического объема, сводный индекс цен, сводный индекс товарооборота, сводный индекс затрат и т. п. И тогда, для сведения нескольких видов элемента, при построении индекса необходимо использовать знак «суммы» (Σ).

Так, сводный индекс физического объема (например, по молочной продукции в целом) будет выглядеть следующим образом:

[6]

Однако, так как количества молочной продукции имеют натуральное выражение (молоко – в литрах, сыр - в килограммах), то их нельзя суммировать, т.е. мы сталкиваемся с так называемым несуммируемым явлением (Σq). Данная проблема решается введением в индекс величины, позволяющей преодолеть несуммируемость изучаемого явления. И это будет цена единицы продукции, имеющая денежное выражение:

[7]

При этом, цену необходимо зафиксировать на неизменном уровне (отчетном (текущем) или предшествующем (базисном) (p_*)), так как нас интересует изменение только количества:

[8]

Величина, введенная в индекс для преодоления несуммируемости изучаемого элемента и зафиксированная на неизменном уровне, называется весом, а сводный индекс, построенный с использованием веса, приобретает форму агрегатного индекса [8].

Выбор уровня (отчетного (текущего) или предшествующего (базисного)) для веса определяется экономическим содержанием полученных сложных явлений (Σq₁p_* и Σq₀p_*)

Правило: при построении сводных индексов количественных элементов, качественные элементы, выступающие весом, фиксируются на предшествующем (базисном) периоде.

Следовательно, сводный индекс физического объема в агрегатной форме имеет следующий вид:

[9]

Аналогичная методика используется при построении сводного индекса качественных элементов (I_p):

[10]

Однако, так как сумма цен единицы каждого вида молочной продукции не имеет экономического содержания, то мы сталкиваемся с несуммируемым явлением (Σp), что преодолевается введением в индекс веса. В данном случае это будет количество проданных товаров (q_*)

[11]

Правило: при построении сводных индексов качественных элементов, количественные элементы, выступающие весом, фиксируются на отчетном (текущем) периоде.

Следовательно, сводный индекс цен в агрегатной форме имеет следующий вид:

[12]

Таким образом, сводные индексы количественных и качественных элементов в агрегатной форме имеют две составные части - индексируемую величину и вес.

Индексируемая величина – это элемент статистической совокупности, изменение которого является объектом изучения.

Вес - величина, введенная в индекс для преодоления несуммируемости изучаемого элемента и зафиксированная на неизменном уровне.

Так, при изучении изменения цен индексируемой величиной будет цена единицы товара "p", а весом – количество товара в натуральных единицах измерения – "q". При изучении изменения физического объема индексируемой величиной является количество товара в натуральных измерителях – "q", а весом – цена единицы товара – "p".

Динамику сложного явления можно определить при помощи формулы сводного индекса товарооборота (I_pq):

[13]

При его построении не используются веса, так как нет несуммируемых явлений.

Рассмотренные индексы (сводный индекс динамики товарооборота, сводный индекс цен и сводный индекс физического объема) образуют систему индексов:

[14]

или

[15]

В данной системе изменение товарооборота в фактически действовавших ценах в отчетном (текущем) периоде по сравнению с предшествующим (базисным) зависит от того, как изменились цены на проданные товары (индекс цен) и как изменилось количество проданных товаров в натуральных измерителях (индекс физического объема).

Взаимосвязанные сводные индексы применяются во многих других случаях:

- для анализа производственной деятельности организаций применяются: индекс оптовых цен, индекс физического объема продукции и индекс стоимости продукции;

- для анализа затрат на производство – индекс себестоимости единицы продукции, индекс физического объема продукции и индекс затрат на производство.

Так, сводный индекс себестоимости единицы продукции имеет вид:

[16]

где z₁, z₀ - себестоимость единицы продукции в отчетном (текущем) и предшествующем (базисном) периоде, соответственно.

Сводный индекс физического объема продукции рассчитывается как:

[17]

И сводный индекс затрат на производство:

[18]

где z*q – затраты на производство.

Так же эти три индекса взаимосвязаны:

[19]

или

[20]

В данной системе изменение затрат на производство в фактически действовавших ценах в отчетном (текущем) периоде по сравнению с предшествующим (базисным) зависит от того, как изменилась себестоимость единицы продукции (индекс себестоимости) и как изменилось количество произведенной продукции в натуральном измерении (индекс физического объема).

3. Средние индексы.

Cводный индекс можно представить как среднюю взвешенную из индивидуальных индексов (вторая форма выражения сводных индексов). При этом форму средней нужно выбрать таким образом, чтобы полученный средний индекс был тождественен исходному агрегатному индексу. Для расчета сводных индексов применяются две формы: средняя арифметическая форма и средняя геометрическая форма.

I. Для построения сводного индекса количественного элемента в агрегатной форме необходима информация о количестве товаров в отчетном (текущем) периоде (q₁) и предшествующем (базисном) (q₀), а так же ценах в предшествующем (базисном) периоде (p₀):

[21]

Однако в практике статистической деятельности чаще располагают информацией о сложном явлении и изменении количества по каждому виду продукции в натуральном измерении (т.е. можно построить индивидуальные индексы количественных элементов (i_q)):

[22]

Выразив из формулы [22] (q₁)

q₁ = i_q * q₀ [23]

и подставив в формулу [21], получим:

[24]

Таким образом, сводный индекс количественного элемента можно определить по форме среднего арифметического индекса:

II. Для построения сводного индекса качественного элемента в агрегатной форме необходима информация о ценах товаров в отчетном (текущем) периоде (p₁) и предшествующем (базисном) (p₀), а так же количестве в отчетном (текущем) периоде (q₁):

[25]

Однако в практике статистической деятельности чаще располагают информацией о сложном явлении и изменении цен по каждому виду продукции (т.е. можно построить индивидуальные индексы качественных элементов (i_p)):

[26]

Выразив из формулы [26] (p₀)

[27]

и подставив в формулу [25], получим:

[28]

Таким образом, сводный индекс качественного элемента можно определить по форме среднего гармонического индекса:

4. Индексы средних величин.

На значение средней величины влияют как значения усредняемого признака (x), так и количество отдельных вариант (частоты) (f)

[29]

при этом отношение части единиц совокупности к общему количеству единиц дает относительную величину структуры (d)

, [30]

т.е. на значение средней величины влияют значения усредняемого признака и структура совокупности

[31]

Например, на среднюю цену товара влияет различие цен на этот товар на разных рынках, в магазинах и т. п., а также структура физического объема реализации товара:

[32]

где

[33]

И тогда для анализа изменения средней цены применяется индекс цен переменного состава как отношение средних цен одноименной продукции по нескольким организациям в различные периоды ( ):

[34]

Так как сводный индекс цен переменного состава отражает одновременно изменение двух факторов: цен на одноименную продукцию и доли выпускаемой продукции в каждой организации в отчетном (текущем) периоде по сравнению с предшествующим (базисным), т.е. характеризует изменение средних цен как сложного явления, то для выявления изменения каждого из перечисленных факторов вычисляют:

- индекс цен постоянного (фиксированного) состава (I_p) – индекс качественного элемента, который характеризует изменение индивидуальных цен (т.е. цен по каждой организации) в среднем в отчетном (текущем) периоде по сравнению с предшествующим (базисным) при фиксированной на отчетном (текущем) периоде структуре продаж:

[35]

- индекс структурных сдвигов (I_d) – индекс количественного элемента, который характеризует изменение в структуре продаж (т.е. увеличение доли дорогого или дешевого товара в общем количестве проданного товара) при фиксированных на предшествующем (базисном) периоде, ценах:

[36]

Вместе эти три индекса образуют систему взаимосвязанных индексов:

[37]

или

[38]

или

[39]

5. Анализ изменения сложного явления за счет составляющих элементов.

Изучив изменение сложного явления (явления, полученного произведением элементов) и изменения отдельных элементов, входящих как сомножители в сложное явление, через систему соответствующих индексов, также можно оценить влияние изменений отдельных элементов на изменение сложного явления:

• абсолютное (как разность между числителем и знаменателем соответствующего индекса – абсолютный прирост) – показывает, на сколько единиц измерения изменилось (увеличилось или уменьшилось) сложное явление за счет соответствующего элемента или в целом:

[40]

[41]

[42]

где

[43]

или

[44]

• относительное (как отношение абсолютного изменения сложного явления за счет соответствующего элемента к базисному уровню сложного явления в целом – коэффициент прироста, анализируется только в процентах, т.е. переводится в темпы прироста) - показывает, на сколько процентов изменилось (увеличилось или уменьшилось) сложное явление за счет соответствующего элемента или в целом:

[45]

[46]

[47]

где

[48]

или

[49]

или

[50]

а так же

[51]