Добавил:

Hist Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Лекции по математическому анализу_1 / Лекция 37

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2014

Размер:

423.42 Кб

Скачать

☆

Лекция 37. Криволинейные интегралы.

П.1 Кривые в пространстве. Длина кривой.

ОПР. Кривая в пространстве в векторной форме задается уравнением

или в скалярном виде с заданными функциями ,,.

(параметрическое уравнение кривой).

Кривая не имеет самопересечений, если отображение биективно.

Кривая называется гладкой, если функции ,, непрерывно дифференцируемые

на отрезке или кусочно-гладкой , если соответствующие функции имеют кусочно-непрерывные производные на отрезке .

Пусть разбиение отрезка и соответствующее ему разбиение кривой точками . Через обозначим ломаную линию, составленную из отрезков , . Пусть - длина ломаной , т.е.

ОПР. Кривая называется спрямляемой, если .

ОПР. Длиной кривой называют число .

Если кривая имеет длину, то она спрямляема.

ТЕОРЕМА 1.

Если кривая кусочно-гладкая, то она имеет длину, вычисляемую по формуле :

(1)

ДОК. Докажем первоначально формулу для гладкой кривой . По теореме о среднем для производных существуют точки, для которых

Пусть интегральная сумма для (1) , соответствующая разбиению , .

Лемма. Справедлива оценка : , (2)

где - колебание векторнозначной функции .

ДОК. По неравенству треугольника

Воспользуемся результатом леммы для оценки величины :

Пусть произвольное число. Из непрерывности функций и следует, что функция бесконечно малая в точке . Тогда найдется , при котором для любого разбиения , выполнено неравенство .

По условию теоремы интегральные суммы имеют предел равный , поэтому ,

т.е.длина кривой определяется формулой (1).

Если кривая кусочно-гладкая , то она разбивается на конечное кусков гладких кривых, длины которых вычисляются по формуле (1) на каждом из кусков и справедливость (1) для кусочно-гладкой кривой следует из свойства аддитивности интеграла по множеству.

УПРАЖНЕНИЕ. Докажите, что если кривая на плоскости задается графиком непрерывно дифференцируемой функции на отрезке [a;b], то длина кривой вычисляется по формуле :

(3)

ДОК. Уравнение кривой можно записать в параметрической форме : , .

Тогда и формула (1) переходит в (3).

П.2 Криволинейные интегралы первого рода.

ОПР. Окрестностью кривой назовем множество точек М пространства, для которых найдется шар радиуса с центром в точке кривой такой, что М является его внутренней точкой.

Рассмотрим непрерывную скалярную функцию , определенную в окрестности кусочно-гладкой кривой . Каждому разбиению

отрезка [a,b] и набору точек соответствует число

называемое интегральной суммой функции по кривой .

ОПР. Криволинейным интегралом первого рода функции по кривой называют

число

(4)

ТЕОРЕМА 2.(необходимое условие существования криволинейного интеграла)

Если функция имеет криволинейный интеграл первого рода , то она ограничена на множестве точек кривой.

ДОК. (без доказательства)

ТЕОРЕМА 3. Если функция непрерывна в окрестности кусочно-гладкой кривой , то она имеет криволинейный интеграл первого рода по этой кривой.

ДОК. ( без доказательства)

ЗАМЕЧАНИЕ. Условие непрерывности функции можно понизить до ее кусочной непрерывности .

СВОЙСТВА криволинейного интеграла.

1. линейность .

2. аддитивность по кривой. Если кривая состоит из двух, не имеющих общих точек, кроме граничных, кусков и , т.е. , то .

3. Если в точках кривой , то .

4. (оценка интеграла) Если и , то .

5. (теорема о среднем для криволинейного интеграла) Существует точка , для которой .

ТЕОРЕМА 4. ( Формула для вычисления криволинейного интеграла первого рода)

Если функция непрерывна в окрестности кусочно-гладкой кривой

, заданной параметрическими уравнениями : , то

(5)

ДОК. Пусть разбиение отрезка [a;b] и первоначально гладкая кривая. Интегральная сумма для криволинейного интеграла имеет вид : , (6)

где . Интегральная сумма для интеграла в правой части (5) имеет

вид : . Для оценки абсолютного значения разности воспользуемся результатами леммы (2) : .

Тогда ,

где . Если кривая гладкая, то для любого существует , для которого и

По условиям теоремы интегральные суммы имеют предел при , поэтому неравенство справедливо после предельного перехода :

а , следовательно, существует предел при последовательности интегральных сумм криволинейного интеграла равный (5).

Если кривая кусочно-гладкая, то она представляет объединение конечного числа гладких кусков, для каждого из которых справедлива формула (5) и общий результат следует из свойства аддитивности по кривой криволинейного интеграла.

ПРИМЕР 2. Вычислить , где .

РЕШЕНИЕ. Запишем параметрические уравнения кривой , используя полярные координаты : , .

Тогда и =

П.3 Криволинейный интеграл второго рода.

Рассмотрим векторно-значную функцию непрерывную в некоторой окрестности кусочно-гладкой кривой . Для каждого разбиения отрезка [a;b] и любого набора точек определим число - сумму по k скалярных произведений векторов и . В координатной форме имеет вид :

где , и называется интегральной суммой поля по кривой .

ОПР. Криволинейным интегралом второго рода векторного поля по кривой ,

обозначение , называют число

= (7)

ТЕОРЕМА 5. ( теорема существования)

Если поле непрерывно в окрестности кусочно-гладкой кривой , то криволинейный интеграл второго рода существует.

ДОК. (Без доказательства)

ТЕОРЕМА 6. ( формула вычисления криволинейного интеграла второго рода)

Если поле непрерывно в окрестности кусочно-гладкой кривой : , то

=(8)

ДОК. Предположим первоначально, что кривая гладкая. Пусть разбиение отрезка [a;b] .По теореме о среднем для производной существует набор точек , для которых

Интегральная сумма для интеграла в правой части (8) имеет вид :

Если , то .

Если кривая гладкая, то для любого существует , для которого и для любых разбиений , .

По условию теоремы интегральные суммы имеют предел при , поэтому

т.е. справедлива формула (8).

Если кривая кусочно-гладкая, то она представляет собой объединение конечного числа гладких кусков, для которых справедлива формула (8) и результат следует из свойства аддитивности интеграла по множеству.