26. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции.

Получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на [а;Ь]:

1) найти критические точки функции на интервале (а; Ь);

2) вычислить значения функции в найденных критических точках;

З) вычислить значения функции на концах отрезка, т. е. в точках

х = а; и х = Ь;

4) среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее

и наименьшее.

1. Если функция у = f(x) на отрезке [а; Ь] имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее)

значение.

2. Если функция у = f(x) на отрезке [а;Ь] не имеет критических точек, то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение (М) функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее (m) - на другом.

27. Исследование на максимум и минимум с помощью производных второго порядка.

 

Для примера, рассмотренного вышеy»=2x-4 при х=1 у»<0

при х=3 у»>0

т. е. можно представить это тоже таблицей:

f’(x1)	f”(x1)	Характер критической точки
0	–	Точка max
0	+	Точка min
0	0	Неизвестен

 

Пример2: Исследовать на max и min функцию; y=2sin x+cos 2x.

Решение: Т. к. функция периодическая с периодом 2π, то достаточно ее исследовать на интервале [0,2π].

1)     Находим первую производную:

y’=2sin x-2cos 2x=2(cos x-2sin x·cos x)=2cosx(1-2sin x)/

2)     Находим критические точки: 2cos x(1-2sin x)=0

а) cos x=0; x₁= ;x₂= .

Б) 1-2sin x=0 ; x₃= ;x₄= .

Расположим их по возрастанию x₁=  x₂= ; x₃= ;x₄= .

3)    Находим вторую производную: y»=-2sin x-4cos 2x.

4)     Исследуем в критических точках:

x₁= <0  .

X₂= >0  .

X₃= <0  .

X₄= >0  .

Изображаем график.

28. Асимптоты графиков функции

 Определение. Прямая линия Г называется асимптотой линии L, если расстояния точки линии L от прямой Г стремятся к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат.

Следует различать вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

Вертикальные – если функция имеет вертикальную асимптоту, то уравнение такой асимптоты будет иметь вид

,

Поэтому согласно определению асимптоты   при  . Итак

.                                 (2-112)

Чаще всего это точка разрыва второго рода рассматриваемой функции.

Наклонные -  это такая асимптота,уравнение которой является уравнением прямой линии

.

Исходя из определения асимптоты так как расстояния между точкой кривой   и точками прямой   стремятся к нулю, то получаем зависимости для определения параметров этой прямой линии

                                             (2-113)

и                  .                                    (2-113а)

В частности если рассматриваемая функция   стремиться к конечному пределу А, то эта функция имеет горизонтальную асимптоту.

Примеры:

Задана функция  .

График этой функции имеет две вертикальных асимптоты при   и   - это точки разрыва графика функции и при этих значениях знаменатель функции стремиться к нулю, а сама функция соответственно стремиться к бесконечности.

Заданная функция имеет, кроме того, и наклонную асимптоту

Так по (2-113) и (2-113а) имеем

, т.е. k=1 и

.

Таким образом, наклонная асимптота имеет уравнение ,y=x т.е. это биссектриса первого квадранта.