23. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа
Теорема Ферма. Пусть функция f (х) определена на интервале (а, b) и в некоторой точке х0 (а, b) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке х0 существует конечная производная f '(x0), то f '(x0) = 0.
Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] дифференцируема на интервале (a; b) и на концах отрезка принимает одинаковые значения f(a)=f(b), то найдется хотя бы одна точка с э (a; b), в которой производная f'(x) обращается в нуль, т.е. f'(c)=0.
Теорема Коши. Пусть функции f (х) и g(х) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b), причем g'(х) 0, х (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка , такая, что f (x) = const на [a, b], то f '(х) = 0, х (a, b);
Теорема Лагранжа. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на интервале (a; b). Тогда существует такая точка С э (a; b), что выполняется равенство f(b) - f(a) =
f' (c)(b - a).
24. Условия возрастания и убывания функций. Стационарные точки.
Определение возрастающей функции.
Функция y
= f(x) возрастает
на интервале X,
если для любых 
и 
выполняется
неравенство 
.
Другими словами – большему значению
аргумента соответствует большее значение
функции.
Определение убывающей функции.
Функция y
= f(x) убывает
на интервале X,
если для любых
и 
выполняется
неравенство 
.
Другими словами – большему значению
аргумента соответствует меньшее значение
функции.
На основании достаточных признаков находятся промежутки возрастания и убывания функции. Вот формулировки признаков: -если производная функции y = f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;
-если производная функции y = f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.
Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо: -найти область определения функции;
-найти производную функции;
-решить неравенства 
и 
на
области определения;
-к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.
25. Необходимые и достаточные признаки максимума и минимума.
(необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция у = f(x) имеет экстремум в точке x0, то ее производная в этой точке равна нулю: f’(x0) = 0.
(достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция у = f(x) дифференцируема в некоторой б-окрестности критической точки х0 и при переходе через нее (слева направо) производная f' (х) меняет знак с плюса на минус, то x0 есть точка максимума; с минуса на плюс, то х0 - точка минимума.
(достаточное условие экстремума) Если в точке х0 первая производная функции f(x) равна нулю (f'(х0) = 0) а вторая производная в точке х0 существует и отлична от нуля (f' ' (x0) не равно 0). то при (f' ' (x0) < 0) В точке х0 функция имеет максимум и минимум - при (f' ' (x0) > 0).
Можно сформулировать следующее правило для исследований функций y=f(x) на max или min.
1. Ищем первую производную функции, т. е. f'(x).
2. Находим критические точки, для этого
а) приравниваем первую производную нулю и находим действительные корни полученного уравнения f'(x)=0;
3. Исследуем знак производной слева и справа от критической точки.
4. Вычислим значение функции y=f(x)при каждом значении аргумента.
Все это можно представить в таблице.