18. Геометрический и механический смысл производной функции.

Геометрический смысл производной

Пусть функция   определена в некоторой окрестности   токи  , непрерывна в этой точке и  , а   (рис.2).

Рис. 2

Придав произвольное приращение аргументу  , так чтобы  , перейдем к точке   с абсциссой   и ординатой  , где  .

Уравнение прямой, проходящей через точки   и   (секущей графика функции  , имеет вид:  , где отношение   представляет собой угловой коэффициент секущей ( .

Касательной к графику функции   в точке   называется предельное положение секущей  , при стремлении точки   по графику   к точке  .

Для того, чтобы секущая   при   стремилась к предельному положению, отличному от вертикальной прямой , необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный предел  , то есть , чтобы существовала конечная производная функции   в точке  .

Угловой коэффициент касательной получается путем перехода от   к пределу при  :

Таким образом, получим, что  , где   - угол наклона касательной к оси   (см. рис.), а значение производной равно угловому коэффициенту касательной к графику функции. В этом заключается геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции   в точке   имеет вид

В случае бесконечной производной  .

Из уравнения секущей имеем:

Переходя в равенстве к пределу при  , получаем уравнение касательной к графику функции в точке   в виде  , то есть касательная является в данном случае вертикальной прямой, проходящей через точку   оси абсцисс.

Механический смысл производной

Пусть материальная точка движется прямолинейно и   - длина пути, проходимого за время  , отсчитываемого от некоторого момента времени  .

Для определения скорости   в данный момент   придадим переменной   некоторое приращение  , при этом приращение пути будет равно  .

Отношение   называется в физике величиной средней скорости движения за промежуток времени, начиная с момента времени  , и обозначается

Предел   называется величиной мгновенной скорости движения в момент времени  .

Таким образом, мгновенная скорость в момент времени   прямолинейного движения, совершаемого по закону   равна значению производной  .

18. Техника дифференцирования функций. Таблица производных

Таблица производных и правила дифференцирования

О том, что такое производная, мы рассказали в статье «Геометрический смысл производной». Если функция задана графиком, её производная в каждой точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции. А если функция задана формулой — вам помогут таблица производных и правила дифференцирования, то есть правила нахождения производной.

18. Дифференцируемость функции. Определение дифференциала функции.

Дифференци́руемая (в точке) фу́нкция — это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция — это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет значительное число приложений как в самой математике, так и в других естественных науках.

Приращение дифференцируемой в данной точке функции можно представить как линейную функцию приращения аргумента с точностью до величин более высокого порядка малости. Это означает, что для достаточно малых окрестностей данной точки функцию можно заменить линейной (скорость изменения функции можно считать неизменной). Линейная часть приращения функции называется ее дифференциалом (в данной точке).

Необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости является непрерывность функции. В случае функции от одной вещественной переменной дифференцируемость равносильна существованию производной. В случае функции нескольких вещественных переменных необходимым (но не достаточным) условием дифференцируемости является существование частных производных по всем переменным. Для дифференцируемости функции нескольких переменных в точке достаточно, чтобы частные производные существовали в некоторой окрестности рассматриваемой точки и были непрерывны в данной точке.^[1]

В случае функции комплексной переменной дифференцируемость в точке часто называется моногенностью и существенно отличается от понятия дифференцируемости в вещественном случае. Ключевую роль в этом играет так называемое условие Коши — Римана. Функция, моногенная в окрестности точки, называется голоморфной в этой точке.^[2][3]

В функциональном анализе существует обобщение понятия дифференцирования на случай отображений бесконечномерных пространств — производные Гато и Фреше.